Mathematical Reasoning 1

Direction (1-50): In the following questions, solve the problems related to summation formulas. Read each question carefully and select the best option.

This section tests your understanding of mathematical reasoning, specifically focusing on summation formulas for series of natural numbers, their squares, and their cubes. These formulas are fundamental tools for solving problems in arithmetic progressions and various other mathematical contexts. Analyze each problem, apply the correct formula, and perform the calculations accurately to find the solution. Good luck!

निर्देश (1-50): निम्नलिखित प्रश्नों में, योग सूत्रों से संबंधित समस्याओं को हल करें। प्रत्येक प्रश्न को ध्यान से पढ़ें और सर्वोत्तम विकल्प चुनें।

यह खंड आपकी गणितीय तर्कशक्ति की समझ का परीक्षण करता है, विशेष रूप से प्राकृतिक संख्याओं, उनके वर्गों और उनके घनों की श्रृंखलाओं के लिए योग सूत्रों पर ध्यान केंद्रित करते हुए। ये सूत्र अंकगणितीय प्रगति और विभिन्न अन्य गणितीय संदर्भों में समस्याओं को हल करने के लिए मौलिक उपकरण हैं। प्रत्येक समस्या का विश्लेषण करें, सही सूत्र लागू करें, और समाधान खोजने के लिए गणनाओं को सटीक रूप से करें। शुभकामनाएँ!

নিৰ্দেশনা (১-৫০): নিম্নলিখিত প্ৰশ্নসমূহত, যোগফলৰ সূত্ৰৰ সৈতে জড়িত সমস্যাসমূহ সমাধান কৰক। প্ৰতিটো প্ৰশ্ন মনোযোগেৰে পঢ়ক আৰু শ্ৰেষ্ঠ বিকল্পটো বাছনি কৰক।

এই খণ্ডটোৱে আপোনাৰ গাণিতিক যুক্তিৰ বোধগম্যতা পৰীক্ষা কৰে, বিশেষকৈ স্বাভাৱিক সংখ্যা, সিহঁতৰ বৰ্গ, আৰু ঘনৰ শ্ৰেণীৰ যোগফলৰ সূত্ৰসমূহৰ ওপৰত গুৰুত্ব দি। এই সূত্ৰসমূহ সমান্তৰ প্ৰগতি আৰু আন বহুতো গাণিতিক প্ৰসংগত সমস্যা সমাধানৰ বাবে মৌলিক সঁজুলি। প্ৰতিটো সমস্যা বিশ্লেষণ কৰক, সঠিক সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক, আৰু সমাধান উলিয়াবলৈ গণনাসমূহ সঠিকভাৱে কৰক। শুভকামনা!

StudyBix.com-Q1: What is the sum of the first 30 natural numbers?

A
450
B
495
C
465
D
900
E
435

StudyBix.com-Q1: पहली 30 प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
450
B
495
C
465
D
900
E
435

StudyBix.com-Q1: প্ৰথম 30টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল কিমান?

A
450
B
495
C
465
D
900
E
435

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Correct Answer Explanation: To find the sum of the first 'n' natural numbers, we use the formula: Sum = n(n+1)/2. In this case, 'n' is 30.

Step-by-step Calculation:

Identify the value of n: n = 30.
Substitute 'n' into the formula: Sum = 30 x (30 + 1) / 2.
Simplify the expression in the parenthesis: Sum = 30 x 31 / 2.
Perform the multiplication: Sum = 930 / 2.
Perform the division: Sum = 465.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	30	The number of natural numbers to sum.
Formula	n(n+1)/2	Formula for the sum of first n natural numbers.
Calculation	30 x 31 / 2	Substituting the value of n.
Result	465	The final sum.

Why other options are incorrect:

A) 450: This might be a result of a miscalculation, perhaps by incorrectly calculating 30 x 30 / 2 = 900 / 2 = 450. The correct formula requires (n+1), not n.
B) 495: This is the sum of the first 31 natural numbers (31 x 32 / 2 = 496, close) or a miscalculation. For n=30, the correct answer is 465.
D) 900: This is the result of squaring 30 (30² = 900). The formula for the sum of the first n odd numbers is n², not for all natural numbers.
E) 435: This is the sum of the first 29 natural numbers (29 x 30 / 2 = 435). The question asks for the sum of the first 30 numbers.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: योग = n(n+1)/2। इस मामले में, 'n' 30 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n का मान पहचानें: n = 30।
सूत्र में 'n' का मान रखें: योग = 30 x (30 + 1) / 2।
कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल करें: योग = 30 x 31 / 2।
गुणा करें: योग = 930 / 2।
भाग करें: योग = 465।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	30	जोड़ी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	30 x 31 / 2	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	465	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 450: यह एक गलत गणना का परिणाम हो सकता है, शायद 30 x 30 / 2 = 900 / 2 = 450 की गलत गणना करके। सही सूत्र में (n+1) की आवश्यकता होती है, n की नहीं।
B) 495: यह पहली 31 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (31 x 32 / 2 = 496, करीब) या एक गलत गणना। n=30 के लिए, सही उत्तर 465 है।
D) 900: यह 30 का वर्ग (30² = 900) करने का परिणाम है। पहली n विषम संख्याओं के योग का सूत्र n² है, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं।
E) 435: यह पहली 29 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (29 x 30 / 2 = 435)। प्रश्न में पहली 30 संख्याओं का योग पूछा गया है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)/2। এই ক্ষেত্ৰত, 'n' হৈছে 30।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n-ৰ মান চিনাক্ত কৰক: n = 30।
সূত্ৰত 'n' বহুৱাওক: যোগফল = 30 x (30 + 1) / 2।
বন্ধনীৰ ভিতৰৰ অংশটো সৰল কৰক: যোগফল = 30 x 31 / 2।
পূৰণ কৰক: যোগফল = 930 / 2।
হৰণ কৰক: যোগফল = 465।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	30	যোগ কৰিবলগীয়া স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	30 x 31 / 2	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	465	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 450: এইটো ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে, যেনে 30 x 30 / 2 = 900 / 2 = 450। শুদ্ধ সূত্ৰত (n+1) লাগে, n নহয়।
B) 495: এইটো প্ৰথম 31টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (31 x 32 / 2 = 496, ওচৰা-ওচৰি) বা এটা ভুল গণনা হ'ব পাৰে। n=30 ৰ বাবে শুদ্ধ উত্তৰ হৈছে 465।
D) 900: এইটো 30-ৰ বৰ্গ (30² = 900)। প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ n² হয়, সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বাবে নহয়।
E) 435: এইটো প্ৰথম 29টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (29 x 30 / 2 = 435)। প্ৰশ্নটোত প্ৰথম 30টা সংখ্যাৰ যোগফল বিচৰা হৈছে।

StudyBix.com-Q2: What is the sum of the squares of the first 10 natural numbers?

A
385
B
100
C
3025
D
55
E
400

StudyBix.com-Q2: पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?

A
385
B
100
C
3025
D
55
E
400

StudyBix.com-Q2: প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল কিমান?

A
385
B
100
C
3025
D
55
E
400

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Correct Answer Explanation: To find the sum of the squares of the first 'n' natural numbers (1² + 2² + ... + n²), the formula is: Sum = n(n+1)(2n+1)/6. Here, n = 10.

Step-by-step Calculation:

Identify the value of n: n = 10.
Substitute 'n' into the formula: Sum = 10 x (10 + 1) x (2 x 10 + 1) / 6.
Simplify the expressions in the parentheses: Sum = 10 x 11 x (20 + 1) / 6 = 10 x 11 x 21 / 6.
Perform the multiplication: Sum = 110 x 21 / 6 = 2310 / 6.
Perform the division: Sum = 385.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	10	The number of natural numbers.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for the sum of squares of first n natural numbers.
Calculation	10 x 11 x 21 / 6	Substituting the value of n.
Result	385	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

B) 100: This is the square of 10 (10² = 100). This would only be the last term in the series, not the sum of all squares.
C) 3025: This is the result of using the formula for the sum of the cubes of the first 10 natural numbers, which is [n(n+1)/2]² = [10x11/2]² = 55² = 3025. The question asks for the sum of squares, not cubes.
D) 55: This is the sum of the first 10 natural numbers (10 x 11 / 2 = 55), not the sum of their squares.
E) 400: This might be a result of an estimation or miscalculation. The correct calculation using the formula n(n+1)(2n+1)/6 leads to 385.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग (1² + 2² + ... + n²) ज्ञात करने के लिए, सूत्र है: योग = n(n+1)(2n+1)/6। यहाँ, n = 10 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n का मान पहचानें: n = 10।
सूत्र में 'n' का मान रखें: योग = 10 x (10 + 1) x (2 x 10 + 1) / 6।
कोष्ठकों में दिए गए व्यंजकों को सरल करें: योग = 10 x 11 x (20 + 1) / 6 = 10 x 11 x 21 / 6।
गुणा करें: योग = 110 x 21 / 6 = 2310 / 6।
भाग करें: योग = 385।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	10	प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	10 x 11 x 21 / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	385	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 100: यह 10 का वर्ग (10² = 100) है। यह केवल श्रृंखला का अंतिम पद होगा, सभी वर्गों का योग नहीं।
C) 3025: यह पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के सूत्र का उपयोग करने का परिणाम है, जो [n(n+1)/2]² = [10x11/2]² = 55² = 3025 है। प्रश्न में वर्गों का योग पूछा गया है, घनों का नहीं।
D) 55: यह पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (10 x 11 / 2 = 55), उनके वर्गों का योग नहीं।
E) 400: यह एक अनुमान या गलत गणना का परिणाम हो सकता है। सही सूत्र n(n+1)(2n+1)/6 का उपयोग करके गणना करने पर 385 प्राप्त होता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল (1² + 2² + ... + n²) উলিয়াবলৈ, সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6। ইয়াত, n = 10।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n-ৰ মান চিনাক্ত কৰক: n = 10।
সূত্ৰত 'n' বহুৱাওক: যোগফল = 10 x (10 + 1) x (2 x 10 + 1) / 6।
বন্ধনীৰ ভিতৰৰ অংশবোৰ সৰল কৰক: যোগফল = 10 x 11 x (20 + 1) / 6 = 10 x 11 x 21 / 6।
পূৰণ কৰক: যোগফল = 110 x 21 / 6 = 2310 / 6।
হৰণ কৰক: যোগফল = 385।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	10	স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	10 x 11 x 21 / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	385	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 100: এইটো 10-ৰ বৰ্গ (10² = 100)। এইটো কেৱল শৃংখলাটোৰ শেষৰ পদটো হ'ব, সকলো বৰ্গৰ যোগফল নহয়।
C) 3025: এইটো প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰাৰ ফলত পোৱা যায়, যিটো হৈছে [n(n+1)/2]² = [10x11/2]² = 55² = 3025। প্ৰশ্নটোত বৰ্গৰ যোগফল বিচৰা হৈছে, ঘনৰ নহয়।
D) 55: এইটো প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (10 x 11 / 2 = 55), সিহঁতৰ বৰ্গৰ যোগফল নহয়।
E) 400: এইটো এটা অনুমান বা ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে। শুদ্ধ সূত্ৰ n(n+1)(2n+1)/6 ব্যৱহাৰ কৰি গণনা কৰিলে 385 পোৱা যায়।

StudyBix.com-Q3: Calculate the sum of the cubes of the first 8 natural numbers (1³ + 2³ + ... + 8³).

A
1296
B
204
C
36
D
512
E
1024

StudyBix.com-Q3: पहली 8 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग (1³ + 2³ + ... + 8³) की गणना करें।

A
1296
B
204
C
36
D
512
E
1024

StudyBix.com-Q3: প্ৰথম 8টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল গণনা কৰক (1³ + 2³ + ... + 8³)।

A
1296
B
204
C
36
D
512
E
1024

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Correct Answer Explanation: The formula to find the sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is Sum = [n(n+1)/2]². For this problem, n = 8.

Step-by-step Calculation:

Identify the value of n: n = 8.
First, calculate the sum of the first 'n' natural numbers: n(n+1)/2 = 8 x (8 + 1) / 2 = 8 x 9 / 2 = 72 / 2 = 36.
Now, square this result to find the sum of the cubes: Sum = 36².
Calculate the square: Sum = 36 x 36 = 1296.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	8	The number of natural numbers.
Formula	[n(n+1)/2]²	Formula for the sum of cubes of first n natural numbers.
Step 1: n(n+1)/2	36	Sum of the first 8 natural numbers.
Step 2: (Result)²	1296	Squaring the result from Step 1.
Final Result	1296	The final sum of cubes.

Why other options are incorrect:

B) 204: This is the sum of the squares of the first 8 natural numbers (8 x 9 x 17 / 6 = 204). The question asks for the sum of cubes.
C) 36: This is the sum of the first 8 natural numbers (8 x 9 / 2 = 36). The formula for the sum of cubes requires squaring this value.
D) 512: This is the cube of 8 (8³ = 512). This is only the last term in the series, not the sum of all the cubes from 1 to 8.
E) 1024: This might be a miscalculation, possibly 32² = 1024. The correct calculation leads to 36² = 1296.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। इस प्रश्न के लिए, n = 8 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n का मान पहचानें: n = 8।
सबसे पहले, पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग गणना करें: n(n+1)/2 = 8 x (8 + 1) / 2 = 8 x 9 / 2 = 72 / 2 = 36।
अब, घनों का योग ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का वर्ग करें: योग = 36²।
वर्ग की गणना करें: योग = 36 x 36 = 1296।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	8	प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	[n(n+1)/2]²	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र।
चरण 1: n(n+1)/2	36	पहली 8 प्राकृतिक संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	1296	चरण 1 से प्राप्त परिणाम का वर्ग।
अंतिम परिणाम	1296	घनों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 204: यह पहली 8 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है (8 x 9 x 17 / 6 = 204)। प्रश्न में घनों का योग पूछा गया है।
C) 36: यह पहली 8 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (8 x 9 / 2 = 36)। घनों के योग के सूत्र में इस मान का वर्ग करना आवश्यक है।
D) 512: यह 8 का घन (8³ = 512) है। यह केवल श्रृंखला का अंतिम पद है, 1 से 8 तक के सभी घनों का योग नहीं।
E) 1024: यह एक गलत गणना हो सकती है, संभवतः 32² = 1024। सही गणना से 36² = 1296 प्राप्त होता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল উলিয়াবলৈ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। এই প্ৰশ্নটোৰ বাবে, n = 8।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n-ৰ মান চিনাক্ত কৰক: n = 8।
প্ৰথমে, প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: n(n+1)/2 = 8 x (8 + 1) / 2 = 8 x 9 / 2 = 72 / 2 = 36।
এতিয়া, ঘনৰ যোগফল উলিয়াবলৈ এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: যোগফল = 36²।
বৰ্গ গণনা কৰক: যোগফল = 36 x 36 = 1296।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	8	স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	[n(n+1)/2]²	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	36	প্ৰথম 8টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	1296	স্তৰ 1-ৰ ফলাফলৰ বৰ্গ।
অন্তিম ফলাফল	1296	ঘনৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 204: এইটো প্ৰথম 8টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল (8 x 9 x 17 / 6 = 204)। প্ৰশ্নটোত ঘনৰ যোগফল বিচৰা হৈছে।
C) 36: এইটো প্ৰথম 8টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (8 x 9 / 2 = 36)। ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰত এই মানটোৰ বৰ্গ কৰিব লাগে।
D) 512: এইটো 8-ৰ ঘন (8³ = 512)। এইটো কেৱল শৃংখলাটোৰ শেষৰ পদটো, 1-ৰ পৰা 8-লৈকে সকলো ঘনৰ যোগফল নহয়।
E) 1024: এইটো এটা ভুল গণনা হ'ব পাৰে, সম্ভৱতঃ 32² = 1024। শুদ্ধ গণনাৰ ফলত 36² = 1296 পোৱা যায়।

StudyBix.com-Q4: If the sum of the first 'n' natural numbers is 210, what is the value of 'n'?

A
15
B
20
C
25
D
18
E
21

StudyBix.com-Q4: यदि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 210 है, तो 'n' का मान क्या है?

A
15
B
20
C
25
D
18
E
21

StudyBix.com-Q4: যদি প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 210 হয়, তেন্তে 'n' ৰ মান কিমান?

A
15
B
20
C
25
D
18
E
21

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Correct Answer Explanation: We are given that the sum of the first 'n' natural numbers is 210. The formula for this sum is n(n+1)/2. So, we need to solve the equation n(n+1)/2 = 210 for 'n'.

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: n(n+1)/2 = 210.
Multiply both sides by 2: n(n+1) = 420.
We need to find two consecutive integers whose product is 420. We can solve the quadratic equation n² + n - 420 = 0, or we can test the options.
Testing the options is often faster. Let's test option B: If n = 20, then n+1 = 21. n(n+1) = 20 x 21 = 420. This matches our equation. So, n = 20.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum = 210
2	Set up Formula	n(n+1)/2 = 210
3	Simplify Equation	n(n+1) = 420
4	Test Option B (n=20)	20 x (20+1) = 20 x 21 = 420
5	Conclusion	The value of n is 20.

Why other options are incorrect:

A) 15: If n=15, the sum would be 15 x 16 / 2 = 120, which is not 210.
C) 25: If n=25, the sum would be 25 x 26 / 2 = 325, which is not 210.
D) 18: If n=18, the sum would be 18 x 19 / 2 = 171, which is not 210.
E) 21: If n=21, the sum would be 21 x 22 / 2 = 231, which is not 210. This is a common mistake where the candidate confuses n and n+1.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें दिया गया है कि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 210 है। इस योग का सूत्र n(n+1)/2 है। इसलिए, हमें 'n' के लिए समीकरण n(n+1)/2 = 210 को हल करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: n(n+1)/2 = 210।
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: n(n+1) = 420।
हमें दो क्रमागत पूर्णांक खोजने होंगे जिनका गुणनफल 420 है। हम द्विघात समीकरण n² + n - 420 = 0 को हल कर सकते हैं, या हम विकल्पों का परीक्षण कर सकते हैं।
विकल्पों का परीक्षण करना अक्सर तेज़ होता है। आइए विकल्प B का परीक्षण करें: यदि n = 20, तो n+1 = 21। n(n+1) = 20 x 21 = 420। यह हमारे समीकरण से मेल खाता है। तो, n = 20।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	योग = 210
2	सूत्र स्थापित करें	n(n+1)/2 = 210
3	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 420
4	विकल्प B (n=20) का परीक्षण करें	20 x (20+1) = 20 x 21 = 420
5	निष्कर्ष	n का मान 20 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 15: यदि n=15, तो योग 15 x 16 / 2 = 120 होगा, जो 210 नहीं है।
C) 25: यदि n=25, तो योग 25 x 26 / 2 = 325 होगा, जो 210 नहीं है।
D) 18: यदि n=18, तो योग 18 x 19 / 2 = 171 होगा, जो 210 नहीं है।
E) 21: यदि n=21, तो योग 21 x 22 / 2 = 231 होगा, जो 210 नहीं है। यह एक आम गलती है जहाँ उम्मीदवार n और n+1 के बीच भ्रमित हो जाता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমাক দিয়া হৈছে যে প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 210। এই যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে n(n+1)/2। গতিকে, আমি 'n' ৰ বাবে n(n+1)/2 = 210 সমীকৰণটো সমাধান কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: n(n+1)/2 = 210।
দুয়ো পক্ষক 2 ৰে পূৰণ কৰক: n(n+1) = 420।
আমি দুটা ক্ৰমিক পূৰ্ণ সংখ্যা বিচাৰিব লাগিব যাৰ পূৰণফল 420। আমি দ্বিঘাত সমীকৰণ n² + n - 420 = 0 সমাধান কৰিব পাৰোঁ, বা আমি বিকল্পবোৰ পৰীক্ষা কৰিব পাৰোঁ।
বিকল্পবোৰ পৰীক্ষা কৰাটো প্ৰায়ে দ্ৰুত হয়। আহক, বিকল্প B পৰীক্ষা কৰোঁ: যদি n = 20, তেন্তে n+1 = 21। n(n+1) = 20 x 21 = 420। এইটো আমাৰ সমীকৰণৰ সৈতে মিলে। গতিকে, n = 20।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	যোগফল = 210
2	সূত্ৰ গঠন	n(n+1)/2 = 210
3	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 420
4	বিকল্প B (n=20) পৰীক্ষা	20 x (20+1) = 20 x 21 = 420
5	সিদ্ধান্ত	n ৰ মান 20।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 15: যদি n=15, যোগফল হ'ব 15 x 16 / 2 = 120, যিটো 210 নহয়।
C) 25: যদি n=25, যোগফল হ'ব 25 x 26 / 2 = 325, যিটো 210 নহয়।
D) 18: যদি n=18, যোগফল হ'ব 18 x 19 / 2 = 171, যিটো 210 নহয়।
E) 21: যদি n=21, যোগফল হ'ব 21 x 22 / 2 = 231, যিটো 210 নহয়। এইটো এটা সাধাৰণ ভুল য'ত প্ৰাৰ্থীয়ে n আৰু n+1 ৰ মাজত বিভ্ৰান্ত হয়।

StudyBix.com-Q5: What is the sum of natural numbers from 11 to 30?

A
465
B
55
C
410
D
520
E
390

StudyBix.com-Q5: 11 से 30 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
465
B
55
C
410
D
520
E
390

StudyBix.com-Q5: 11 ৰ পৰা 30 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ যোগফল কিমান?

A
465
B
55
C
410
D
520
E
390

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: To find the sum of numbers in a range (from m to n), we can calculate the sum of the first 'n' numbers and subtract the sum of the first 'm-1' numbers. Here, n = 30 and m = 11. So we need to calculate (Sum of first 30 numbers) - (Sum of first 10 numbers).

Step-by-step Calculation:

Calculate the sum of the first 30 numbers (S₃₀): S₃₀ = 30 x (30 + 1) / 2 = 30 x 31 / 2 = 465.
Calculate the sum of the first 10 numbers (S₁₀): S₁₀ = 10 x (10 + 1) / 2 = 10 x 11 / 2 = 55.
Subtract the second sum from the first: Sum (11 to 30) = S₃₀ - S₁₀ = 465 - 55 = 410.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of first 30 (S₃₀)	n(n+1)/2	465
2	Sum of first 10 (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	Final Sum	S₃₀ - S₁₀	410

Why other options are incorrect:

A) 465: This is the sum of all numbers from 1 to 30. It fails to exclude the sum of numbers from 1 to 10.
B) 55: This is the sum of the numbers from 1 to 10, which is the part that needs to be subtracted, not the final answer.
D) 520: This value does not correspond to a correct application of the summation formulas for this range. It might be a result of a significant calculation error.
E) 390: This could be a result of incorrectly subtracting the sum of the first 11 numbers (66) instead of the first 10 numbers: 465 - 66 = 399, which is close. The correct method is to subtract the sum up to (m-1).

सही उत्तर की व्याख्या: एक सीमा (m से n तक) में संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहली 'n' संख्याओं के योग की गणना कर सकते हैं और उसमें से पहली 'm-1' संख्याओं के योग को घटा सकते हैं। यहाँ, n = 30 और m = 11 है। इसलिए हमें (पहली 30 संख्याओं का योग) - (पहली 10 संख्याओं का योग) की गणना करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 30 संख्याओं का योग (S₃₀) की गणना करें: S₃₀ = 30 x (30 + 1) / 2 = 30 x 31 / 2 = 465।
पहली 10 संख्याओं का योग (S₁₀) की गणना करें: S₁₀ = 10 x (10 + 1) / 2 = 10 x 11 / 2 = 55।
पहले योग में से दूसरे को घटाएं: योग (11 से 30) = S₃₀ - S₁₀ = 465 - 55 = 410।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 30 का योग (S₃₀)	n(n+1)/2	465
2	पहली 10 का योग (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	अंतिम योग	S₃₀ - S₁₀	410

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 465: यह 1 से 30 तक की सभी संख्याओं का योग है। यह 1 से 10 तक की संख्याओं के योग को बाहर करने में विफल रहता है।
B) 55: यह 1 से 10 तक की संख्याओं का योग है, जो वह हिस्सा है जिसे घटाया जाना है, अंतिम उत्तर नहीं।
D) 520: यह मान इस सीमा के लिए योग सूत्रों के सही अनुप्रयोग के अनुरूप नहीं है। यह एक महत्वपूर्ण गणना त्रुटि का परिणाम हो सकता है।
E) 390: यह पहली 10 संख्याओं के बजाय पहली 11 संख्याओं (66) के योग को गलत तरीके से घटाने का परिणाम हो सकता है: 465 - 66 = 399, जो करीब है। सही विधि (m-1) तक के योग को घटाना है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসৰৰ (m ৰ পৰা n লৈ) সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰি তাৰ পৰা প্ৰথম 'm-1' টা সংখ্যাৰ যোগফল বিয়োগ কৰিব পাৰোঁ। ইয়াত, n = 30 আৰু m = 11। গতিকে আমি (প্ৰথম 30 টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 30 টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক (S₃₀): S₃₀ = 30 x (30 + 1) / 2 = 30 x 31 / 2 = 465।
প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক (S₁₀): S₁₀ = 10 x (10 + 1) / 2 = 10 x 11 / 2 = 55।
প্ৰথম যোগফলৰ পৰা দ্বিতীয়টো বিয়োগ কৰক: যোগফল (11 ৰ পৰা 30) = S₃₀ - S₁₀ = 465 - 55 = 410।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 30 ৰ যোগফল (S₃₀)	n(n+1)/2	465
2	প্ৰথম 10 ৰ যোগফল (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	অন্তিম যোগফল	S₃₀ - S₁₀	410

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 465: এইটো 1 ৰ পৰা 30 লৈকে সকলো সংখ্যাৰ যোগফল। ই 1 ৰ পৰা 10 লৈকে সংখ্যাবোৰৰ যোগফল বাদ দিবলৈ ব্যৰ্থ হৈছে।
B) 55: এইটো 1 ৰ পৰা 10 লৈকে সংখ্যাবোৰৰ যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে, অন্তিম উত্তৰ নহয়।
D) 520: এই মানটো এই পৰিসৰৰ বাবে যোগফলৰ সূত্ৰৰ শুদ্ধ প্ৰয়োগৰ সৈতে মিল নাখায়। ই এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ গণনা ত্ৰুটিৰ ফলত হ'ব পাৰে।
E) 390: এইটো প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ পৰিৱৰ্তে প্ৰথম 11 টা সংখ্যাৰ যোগফল (66) ভুলকৈ বিয়োগ কৰাৰ ফলত হ'ব পাৰে: 465 - 66 = 399, যিটো ওচৰা-ওচৰি। শুদ্ধ পদ্ধতি হ'ল (m-1) লৈকে যোগফল বিয়োগ কৰা।

StudyBix.com-Q6: What is the sum of the cubes of natural numbers from 5 to 10?

A
3025
B
2925
C
100
D
385
E
2875

StudyBix.com-Q6: 5 से 10 तक की प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
3025
B
2925
C
100
D
385
E
2875

StudyBix.com-Q6: 5 ৰ পৰা 10 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
3025
B
2925
C
100
D
385
E
2875

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Correct Answer Explanation: To find the sum of cubes in a range (from m to n), we find the sum of cubes of the first 'n' numbers and subtract the sum of cubes of the first 'm-1' numbers. Here, n = 10 and m = 5. We need to calculate (Sum of cubes of first 10 numbers) - (Sum of cubes of first 4 numbers). The formula for sum of cubes is [n(n+1)/2]².

Step-by-step Calculation:

Calculate the sum of cubes of the first 10 numbers (S₁₀³): Sum part: 10 x 11 / 2 = 55. S₁₀³ = 55² = 3025.
Calculate the sum of cubes of the first 4 numbers (S₄³): Sum part: 4 x 5 / 2 = 10. S₄³ = 10² = 100.
Subtract the second sum from the first: Sum (5³ to 10³) = S₁₀³ - S₄³ = 3025 - 100 = 2925.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of cubes of first 10 (S₁₀³)	[n(n+1)/2]²	3025
2	Sum of cubes of first 4 (S₄³)	[n(n+1)/2]²	100
3	Final Sum	S₁₀³ - S₄³	2925

Why other options are incorrect:

A) 3025: This is the sum of cubes of all numbers from 1 to 10. It incorrectly includes the sum of cubes from 1 to 4.
C) 100: This is the sum of cubes of numbers from 1 to 4, which is the part that should be subtracted.
D) 385: This is the sum of the squares of the first 10 natural numbers, not the sum of their cubes in the given range.
E) 2875: This could be a result of incorrectly subtracting the sum of cubes of the first 5 numbers (225) instead of the first 4: 3025 - 225 = 2800. The value 2875 is a calculation error based on this wrong approach.

सही उत्तर की व्याख्या: एक सीमा (m से n तक) में घनों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहली 'n' संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करते हैं और उसमें से पहली 'm-1' संख्याओं के घनों के योग को घटाते हैं। यहाँ, n = 10 और m = 5 है। हमें (पहली 10 संख्याओं के घनों का योग) - (पहली 4 संख्याओं के घनों का योग) की गणना करने की आवश्यकता है। घनों के योग का सूत्र [n(n+1)/2]² है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 10 संख्याओं के घनों का योग (S₁₀³) की गणना करें: योग भाग: 10 x 11 / 2 = 55। S₁₀³ = 55² = 3025।
पहली 4 संख्याओं के घनों का योग (S₄³) की गणना करें: योग भाग: 4 x 5 / 2 = 10। S₄³ = 10² = 100।
पहले योग में से दूसरे को घटाएं: योग (5³ से 10³) = S₁₀³ - S₄³ = 3025 - 100 = 2925।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 10 के घनों का योग (S₁₀³)	[n(n+1)/2]²	3025
2	पहली 4 के घनों का योग (S₄³)	[n(n+1)/2]²	100
3	अंतिम योग	S₁₀³ - S₄³	2925

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 3025: यह 1 से 10 तक की सभी संख्याओं के घनों का योग है। इसमें 1 से 4 तक के घनों का योग गलत तरीके से शामिल है।
C) 100: यह 1 से 4 तक की संख्याओं के घनों का योग है, जो वह हिस्सा है जिसे घटाया जाना चाहिए।
D) 385: यह पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है, दी गई सीमा में उनके घनों का योग नहीं।
E) 2875: यह पहली 4 के बजाय पहली 5 संख्याओं (225) के घनों के योग को गलत तरीके से घटाने का परिणाम हो सकता है: 3025 - 225 = 2800। मान 2875 इस गलत दृष्टिकोण पर आधारित एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসৰত (m ৰ পৰা n লৈ) ঘনৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল উলিয়াই তাৰ পৰা প্ৰথম 'm-1' টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল বিয়োগ কৰোঁ। ইয়াত, n = 10 আৰু m = 5। আমি (প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল) - (প্ৰথম 4 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব। ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে [n(n+1)/2]²।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল গণনা কৰক (S₁₀³): যোগফল অংশ: 10 x 11 / 2 = 55। S₁₀³ = 55² = 3025।
প্ৰথম 4 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল গণনা কৰক (S₄³): যোগফল অংশ: 4 x 5 / 2 = 10। S₄³ = 10² = 100।
প্ৰথম যোগফলৰ পৰা দ্বিতীয়টো বিয়োগ কৰক: যোগফল (5³ ৰ পৰা 10³) = S₁₀³ - S₄³ = 3025 - 100 = 2925।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 10 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₁₀³)	[n(n+1)/2]²	3025
2	প্ৰথম 4 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₄³)	[n(n+1)/2]²	100
3	অন্তিম যোগফল	S₁₀³ - S₄³	2925

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 3025: এইটো 1 ৰ পৰা 10 লৈকে সকলো সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল। ই 1 ৰ পৰা 4 লৈকে ঘনৰ যোগফল ভুলকৈ অন্তৰ্ভুক্ত কৰিছে।
C) 100: এইটো 1 ৰ পৰা 4 লৈকে সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 385: এইটো প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল, দিয়া পৰিসৰত সিহঁতৰ ঘনৰ যোগফল নহয়।
E) 2875: এইটো প্ৰথম 4 ৰ পৰিৱৰ্তে প্ৰথম 5 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল (225) ভুলকৈ বিয়োগ কৰাৰ ফলত হ'ব পাৰে: 3025 - 225 = 2800। 2875 মানটো এই ভুল পদ্ধতিৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি কৰা এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q7: Find the value of 1² + 2² + 3² + ... + 20².

A
210
B
2870
C
44100
D
400
E
2470

StudyBix.com-Q7: 1² + 2² + 3² + ... + 20² का मान ज्ञात करें।

A
210
B
2870
C
44100
D
400
E
2470

StudyBix.com-Q7: 1² + 2² + 3² + ... + 20² ৰ মান উলিওৱা।

A
210
B
2870
C
44100
D
400
E
2470

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Correct Answer Explanation: This question asks for the sum of the squares of the first 20 natural numbers. The formula for the sum of the squares of the first 'n' natural numbers is Sum = n(n+1)(2n+1)/6. Here, n = 20.

Step-by-step Calculation:

Identify the value of n: n = 20.
Substitute 'n' into the formula: Sum = 20 x (20 + 1) x (2 x 20 + 1) / 6.
Simplify the expressions: Sum = 20 x 21 x 41 / 6.
Perform the multiplication: Sum = 17220 / 6.
Perform the division: Sum = 2870.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	20	The number of terms in the series.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for sum of squares.
Calculation	20 x 21 x 41 / 6	Substituting the value of n.
Result	2870	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

A) 210: This is the sum of the first 20 natural numbers (20 x 21 / 2 = 210), not the sum of their squares.
C) 44100: This is the sum of the cubes of the first 20 natural numbers (210² = 44100).
D) 400: This is simply the square of the last term, 20² = 400. It is not the sum of all the squares.
E) 2470: This could be a calculation error. The correct calculation gives 2870.

सही उत्तर की व्याख्या: यह प्रश्न पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग पूछता है। पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र है: योग = n(n+1)(2n+1)/6। यहाँ, n = 20 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n का मान पहचानें: n = 20।
सूत्र में 'n' का मान रखें: योग = 20 x (20 + 1) x (2 x 20 + 1) / 6।
व्यंजकों को सरल करें: योग = 20 x 21 x 41 / 6।
गुणा करें: योग = 17220 / 6।
भाग करें: योग = 2870।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	20	श्रृंखला में पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	20 x 21 x 41 / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	2870	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 210: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (20 x 21 / 2 = 210), उनके वर्गों का योग नहीं।
C) 44100: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है (210² = 44100)।
D) 400: यह केवल अंतिम पद का वर्ग है, 20² = 400। यह सभी वर्गों का योग नहीं है।
E) 2470: यह एक गणना त्रुटि हो सकती है। सही गणना से 2870 प्राप्त होता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এই প্ৰশ্নটোত প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল বিচৰা হৈছে। প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6। ইয়াত, n = 20।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n-ৰ মান চিনাক্ত কৰক: n = 20।
সূত্ৰত 'n' বহুৱাওক: যোগফল = 20 x (20 + 1) x (2 x 20 + 1) / 6।
অংশবোৰ সৰল কৰক: যোগফল = 20 x 21 x 41 / 6।
পূৰণ কৰক: যোগফল = 17220 / 6।
হৰণ কৰক: যোগফল = 2870।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	20	শৃংখলাটোৰ পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	20 x 21 x 41 / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	2870	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 210: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (20 x 21 / 2 = 210), সিহঁতৰ বৰ্গৰ যোগফল নহয়।
C) 44100: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল (210² = 44100)।
D) 400: এইটো কেৱল শেষৰ পদটোৰ বৰ্গ, 20² = 400। এইটো সকলো বৰ্গৰ যোগফল নহয়।
E) 2470: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি হ'ব পাৰে। শুদ্ধ গণনাই 2870 দিয়ে।

StudyBix.com-Q8: The sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is 44100. Find the value of 'n'.

A
20
B
210
C
21
D
19
E
25

StudyBix.com-Q8: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग 44100 है। 'n' का मान ज्ञात करें।

A
20
B
210
C
21
D
19
E
25

StudyBix.com-Q8: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল 44100। 'n' ৰ মান উলিওৱা।

A
20
B
210
C
21
D
19
E
25

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: The formula for the sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is [n(n+1)/2]². We are given that this sum is 44100.

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: [n(n+1)/2]² = 44100.
Take the square root of both sides: n(n+1)/2 = √44100 = 210.
Multiply both sides by 2: n(n+1) = 420.
We need to find two consecutive integers whose product is 420. By inspection or testing options, we find 20 x 21 = 420.
Therefore, n = 20.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum of Cubes = 44100
2	Take Square Root	n(n+1)/2 = 210
3	Simplify Equation	n(n+1) = 420
4	Solve for n	n = 20

Why other options are incorrect:

B) 210: This is the value of the sum of the first 'n' numbers, n(n+1)/2, not the value of 'n' itself. This is a very common confusion.
C) 21: If n=21, n(n+1) would be 21 x 22 = 462, not 420.
D) 19: If n=19, n(n+1) would be 19 x 20 = 380, not 420.
E) 25: If n=25, the sum of cubes would be (25 x 26 / 2)² = 325² = 105625, which is not 44100.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र [n(n+1)/2]² है। हमें दिया गया है कि यह योग 44100 है।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: [n(n+1)/2]² = 44100।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: n(n+1)/2 = √44100 = 210।
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: n(n+1) = 420।
हमें दो क्रमागत पूर्णांक खोजने होंगे जिनका गुणनफल 420 है। निरीक्षण या विकल्पों के परीक्षण से, हम पाते हैं 20 x 21 = 420।
इसलिए, n = 20।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	घनों का योग = 44100
2	वर्गमूल लें	n(n+1)/2 = 210
3	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 420
4	n के लिए हल करें	n = 20

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 210: यह पहली 'n' संख्याओं के योग, n(n+1)/2, का मान है, न कि स्वयं 'n' का मान। यह एक बहुत ही आम भ्रम है।
C) 21: यदि n=21, तो n(n+1) 21 x 22 = 462 होगा, 420 नहीं।
D) 19: यदि n=19, तो n(n+1) 19 x 20 = 380 होगा, 420 नहीं।
E) 25: यदि n=25, तो घनों का योग (25 x 26 / 2)² = 325² = 105625 होगा, जो 44100 नहीं है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে [n(n+1)/2]²। আমাক দিয়া হৈছে যে এই যোগফলটো 44100।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: [n(n+1)/2]² = 44100।
দুয়ো পক্ষৰ বৰ্গমূল লওক: n(n+1)/2 = √44100 = 210।
দুয়ো পক্ষক 2 ৰে পূৰণ কৰক: n(n+1) = 420।
আমি দুটা ক্ৰমিক পূৰ্ণ সংখ্যা বিচাৰিব লাগিব যাৰ পূৰণফল 420। পৰীক্ষা কৰি বা বিকল্পবোৰ চাই আমি পাওঁ 20 x 21 = 420।
গতিকে, n = 20।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	ঘনৰ যোগফল = 44100
2	বৰ্গমূল লোৱা	n(n+1)/2 = 210
3	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 420
4	n ৰ বাবে সমাধান	n = 20

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 210: এইটো প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ যোগফল, n(n+1)/2 ৰ মান, 'n' ৰ মান নহয়। এইটো এটা অতি সাধাৰণ বিভ্ৰান্তি।
C) 21: যদি n=21, n(n+1) হ'ব 21 x 22 = 462, 420 নহয়।
D) 19: যদি n=19, n(n+1) হ'ব 19 x 20 = 380, 420 নহয়।
E) 25: যদি n=25, ঘনৰ যোগফল হ'ব (25 x 26 / 2)² = 325² = 105625, যিটো 44100 নহয়।

StudyBix.com-Q9: What is the sum of the squares of natural numbers from 11 to 20?

A
2870
B
2485
C
385
D
3255
E
2470

StudyBix.com-Q9: 11 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?

A
2870
B
2485
C
385
D
3255
E
2470

StudyBix.com-Q9: 11 ৰ পৰা 20 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফল কিমান?

A
2870
B
2485
C
385
D
3255
E
2470

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Correct Answer Explanation: To find the sum of squares in a range (from m to n), we calculate the sum of squares of the first 'n' numbers and subtract the sum of squares of the first 'm-1' numbers. Here, n = 20, m = 11. We need (Sum of squares up to 20) - (Sum of squares up to 10). The formula is n(n+1)(2n+1)/6.

Step-by-step Calculation:

Calculate S₂₀²: 20 x 21 x 41 / 6 = 2870.
Calculate S₁₀²: 10 x 11 x 21 / 6 = 385.
Subtract: Sum (11² to 20²) = 2870 - 385 = 2485.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of squares of first 20 (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	Sum of squares of first 10 (S₁₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	385
3	Final Sum	S₂₀² - S₁₀²	2485

Why other options are incorrect:

A) 2870: This is the sum of squares from 1 to 20. It fails to subtract the sum of squares from 1 to 10.
C) 385: This is the sum of squares from 1 to 10, which is the value that needs to be subtracted.
D) 3255: This is the sum of squares from 1 to 21 (21x22x43/6 = 3311, close) or a calculation error.
E) 2470: This could be a result of a simple arithmetic mistake during subtraction (2870 - 400).

सही उत्तर की व्याख्या: एक सीमा (m से n तक) में वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहली 'n' संख्याओं के वर्गों के योग की गणना करते हैं और उसमें से पहली 'm-1' संख्याओं के वर्गों के योग को घटाते हैं। यहाँ, n = 20, m = 11 है। हमें (20 तक के वर्गों का योग) - (10 तक के वर्गों का योग) की आवश्यकता है। सूत्र n(n+1)(2n+1)/6 है।

चरण-दर-चरण गणना:

S₂₀² की गणना करें: 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
S₁₀² की गणना करें: 10 x 11 x 21 / 6 = 385।
घटाएं: योग (11² से 20²) = 2870 - 385 = 2485।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 20 के वर्गों का योग (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	पहली 10 के वर्गों का योग (S₁₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	385
3	अंतिम योग	S₂₀² - S₁₀²	2485

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 2870: यह 1 से 20 तक के वर्गों का योग है। यह 1 से 10 तक के वर्गों के योग को घटाने में विफल रहता है।
C) 385: यह 1 से 10 तक के वर्गों का योग है, जो वह मान है जिसे घटाया जाना है।
D) 3255: यह 1 से 21 तक के वर्गों का योग (21x22x43/6 = 3311, करीब) या एक गणना त्रुटि है।
E) 2470: यह घटाव के दौरान एक साधारण अंकगणितीय गलती (2870 - 400) का परिणाम हो सकता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসৰত (m ৰ পৰা n লৈ) বৰ্গৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰি তাৰ পৰা প্ৰথম 'm-1' টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল বিয়োগ কৰোঁ। ইয়াত, n = 20, m = 11। আমাক (20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল) - (10 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল)ৰ প্ৰয়োজন। সূত্ৰটো হৈছে n(n+1)(2n+1)/6।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

S₂₀² গণনা কৰক: 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
S₁₀² গণনা কৰক: 10 x 11 x 21 / 6 = 385।
বিয়োগ কৰক: যোগফল (11² ৰ পৰা 20²) = 2870 - 385 = 2485।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 20 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	প্ৰথম 10 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₁₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	385
3	অন্তিম যোগফল	S₂₀² - S₁₀²	2485

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 2870: এইটো 1 ৰ পৰা 20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল। ই 1 ৰ পৰা 10 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল বিয়োগ কৰিবলৈ ব্যৰ্থ হৈছে।
C) 385: এইটো 1 ৰ পৰা 10 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল, যিটো মান বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 3255: এইটো 1 ৰ পৰা 21 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল (21x22x43/6 = 3311, ওচৰা-ওচৰি) বা এটা গণনা ত্ৰুটি হ'ব পাৰে।
E) 2470: এইটো বিয়োগৰ সময়ত এটা সাধাৰণ अंकगणিতীয় ভুল (2870 - 400) ৰ ফলত হ'ব পাৰে।

StudyBix.com-Q10: Find the sum of the first 15 odd natural numbers.

A
225
B
120
C
240
D
210
E
150

StudyBix.com-Q10: पहली 15 विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
225
B
120
C
240
D
210
E
150

StudyBix.com-Q10: প্ৰথম 15টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
225
B
120
C
240
D
210
E
150

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Correct Answer Explanation: There is a specific, simple formula for the sum of the first 'n' odd natural numbers: Sum = n². In this problem, we need to find the sum of the first 15 odd numbers, so n = 15.

Step-by-step Calculation:

Identify the number of odd terms to sum, n = 15.
Apply the formula: Sum = n².
Calculate the result: Sum = 15² = 225.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	15	The count of first odd numbers.
Formula	n²	Formula for the sum of first n odd numbers.
Calculation	15 x 15	Applying the formula.
Result	225	The final sum.

Why other options are incorrect:

B) 120: This is the sum of the first 15 natural numbers (15 x 16 / 2 = 120).
C) 240: This is double the sum of the first 15 natural numbers (2 x 120).
D) 210: This is the sum of the first 20 natural numbers.
E) 150: This might be a miscalculation like 15 x 10. The correct formula requires squaring 'n'.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' विषम प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए एक विशिष्ट, सरल सूत्र है: योग = n²। इस समस्या में, हमें पहली 15 विषम संख्याओं का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है, इसलिए n = 15 है।

चरण-दर-चरण गणना:

जोड़ी जाने वाली विषम पदों की संख्या पहचानें, n = 15।
सूत्र लागू करें: योग = n²।
परिणाम की गणना करें: योग = 15² = 225।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	15	पहली विषम संख्याओं की गिनती।
सूत्र	n²	पहली n विषम संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	15 x 15	सूत्र लागू करना।
परिणाम	225	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 120: यह पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (15 x 16 / 2 = 120)।
C) 240: यह पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं के योग का दोगुना है (2 x 120)।
D) 210: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
E) 150: यह 15 x 10 जैसी गलत गणना हो सकती है। सही सूत्र में 'n' का वर्ग करना आवश्यक है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ বাবে এটা নিৰ্দিষ্ট, সৰল সূত্ৰ আছে: যোগফল = n²। এই প্ৰশ্নটোত, আমি প্ৰথম 15টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াব লাগিব, গতিকে n = 15।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

যোগ কৰিবলগীয়া অযুগ্ম পদৰ সংখ্যা চিনাক্ত কৰক, n = 15।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = n²।
ফলাফল গণনা কৰক: যোগফল = 15² = 225।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	15	প্ৰথম অযুগ্ম সংখ্যাৰ গণনা।
সূত্ৰ	n²	প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	15 x 15	সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি।
ফলাফল	225	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 120: এইটো প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (15 x 16 / 2 = 120)।
C) 240: এইটো প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ দুগুণ (2 x 120)।
D) 210: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
E) 150: এইটো 15 x 10 ৰ দৰে এটা ভুল গণনা হ'ব পাৰে। শুদ্ধ সূত্ৰত 'n' ৰ বৰ্গ কৰিব লাগে।

StudyBix.com-Q11: Find the sum of the first 20 even natural numbers.

A
400
B
420
C
210
D
440
E
380

StudyBix.com-Q11: पहली 20 सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
400
B
420
C
210
D
440
E
380

StudyBix.com-Q11: প্ৰথম 20টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
400
B
420
C
210
D
440
E
380

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Correct Answer Explanation: The sum of the first 'n' even natural numbers can be found using the formula: Sum = n(n+1). Here, we need the sum of the first 20 even numbers, so n = 20.

Step-by-step Calculation:

Identify the number of even terms to sum, n = 20.
Apply the formula: Sum = n(n+1).
Calculate the result: Sum = 20 x (20 + 1) = 20 x 21 = 420.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	20	The count of first even numbers.
Formula	n(n+1)	Formula for the sum of first n even numbers.
Calculation	20 x 21	Applying the formula.
Result	420	The final sum.

Why other options are incorrect:

A) 400: This is the square of 20 (20²). This is the formula for the sum of the first 20 *odd* numbers, not even numbers.
C) 210: This is the sum of the first 20 *natural* numbers (20 x 21 / 2). The sum of even numbers is exactly double this value.
D) 440: This might be a result of a miscalculation like 20 x 22. The formula is n(n+1), not n(n+2).
E) 380: This could be a result of calculating 20 x 19, perhaps by using (n-1) instead of (n+1).

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' सम प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: योग = n(n+1)। यहाँ, हमें पहली 20 सम संख्याओं का योग चाहिए, इसलिए n = 20 है।

चरण-दर-चरण गणना:

जोड़ी जाने वाली सम पदों की संख्या पहचानें, n = 20।
सूत्र लागू करें: योग = n(n+1)।
परिणाम की गणना करें: योग = 20 x (20 + 1) = 20 x 21 = 420।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	20	पहली सम संख्याओं की गिनती।
सूत्र	n(n+1)	पहली n सम संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	20 x 21	सूत्र लागू करना।
परिणाम	420	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 400: यह 20 का वर्ग (20²) है। यह पहली 20 *विषम* संख्याओं के योग का सूत्र है, सम संख्याओं का नहीं।
C) 210: यह पहली 20 *प्राकृतिक* संख्याओं का योग है (20 x 21 / 2)। सम संख्याओं का योग इस मान का ठीक दोगुना है।
D) 440: यह 20 x 22 जैसी गलत गणना का परिणाम हो सकता है। सूत्र n(n+1) है, n(n+2) नहीं।
E) 380: यह 20 x 19 की गणना का परिणाम हो सकता है, शायद (n+1) के बजाय (n-1) का उपयोग करके।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱাৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)। ইয়াত, আমি প্ৰথম 20টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াব লাগিব, গতিকে n = 20।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

যোগ কৰিবলগীয়া যুগ্ম পদৰ সংখ্যা চিনাক্ত কৰক, n = 20।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = n(n+1)।
ফলাফল গণনা কৰক: যোগফল = 20 x (20 + 1) = 20 x 21 = 420।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	20	প্ৰথম যুগ্ম সংখ্যাৰ গণনা।
সূত্ৰ	n(n+1)	প্ৰথম n টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	20 x 21	সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি।
ফলাফল	420	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 400: এইটো 20-ৰ বৰ্গ (20²)। এইটো প্ৰথম 20টা *অযুগ্ম* সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ, যুগ্ম সংখ্যাৰ নহয়।
C) 210: এইটো প্ৰথম 20টা *স্বাভাৱিক* সংখ্যাৰ যোগফল (20 x 21 / 2)। যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল এই মানৰ ঠিক দুগুণ।
D) 440: এইটো 20 x 22 ৰ দৰে এটা ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে। সূত্ৰটো n(n+1) হয়, n(n+2) নহয়।
E) 380: এইটো 20 x 19 গণনা কৰাৰ ফলত হ'ব পাৰে, সম্ভৱতঃ (n+1) ৰ পৰিৱৰ্তে (n-1) ব্যৱহাৰ কৰি।

StudyBix.com-Q12: If the sum of the first 'n' natural numbers is 120, what is the sum of the squares of the first 'n' natural numbers?

A
120
B
14400
C
620
D
940
E
1240

StudyBix.com-Q12: यदि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 120 है, तो पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या होगा?

A
120
B
14400
C
620
D
940
E
1240

StudyBix.com-Q12: যদি প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 120 হয়, তেন্তে প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল কিমান হ'ব?

A
120
B
14400
C
620
D
940
E
1240

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Correct Answer Explanation: This is a two-step problem. First, find 'n' from the given sum of natural numbers. Then, use 'n' to find the sum of the squares.

Step 1: Find 'n'.

Given: Sum = 120.
Formula: n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240.
By inspection, 15 x 16 = 240. So, n = 15.

Step 2: Find the sum of the squares for n=15.

Formula: Sum of squares = n(n+1)(2n+1)/6.
Substitute n=15: Sum = 15 x 16 x 31 / 6.
Calculate: Sum = 240 x 31 / 6 = 1240.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Formula/Calculation	Result
1	Find n	n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240	n=15
2	Calculate Sum of Squares	15 x 16 x 31 / 6	1240

Why other options are incorrect:

A) 120: This is the original sum of the natural numbers.
B) 14400: This is the square of the sum (120²), which is the sum of the *cubes*, not the squares.
C) 620: This is a random calculation error.
D) 940: This might result from miscalculating the second step. The correct sum is 1240.

सही उत्तर की व्याख्या: यह एक दो-चरणीय समस्या है। सबसे पहले, 'n' का मान ज्ञात करें। फिर, 'n' का उपयोग वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए करें।

चरण 1: 'n' ज्ञात करें।

दिया गया है: योग = 120।
सूत्र: n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240।
निरीक्षण से, 15 x 16 = 240। तो, n = 15।

चरण 2: n=15 के लिए वर्गों का योग ज्ञात करें।

सूत्र: वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6।
n=15 प्रतिस्थापित करें: योग = 15 x 16 x 31 / 6।
गणना करें: योग = 240 x 31 / 6 = 1240।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	सूत्र/गणना	परिणाम
1	n ज्ञात करें	n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240	n=15
2	वर्गों का योग गणना करें	15 x 16 x 31 / 6	1240

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 120: यह प्राकृतिक संख्याओं का मूल योग है।
B) 14400: यह योग का वर्ग है (120²), जो *घनों* का योग है, वर्गों का नहीं।
C) 620: यह एक यादृच्छिक गणना त्रुटि है।
D) 940: यह दूसरे चरण की गलत गणना के परिणामस्वरूप हो सकता है। सही योग 1240 है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এইটো এটা দুটা-স্তৰৰ প্ৰশ্ন। প্ৰথমে, 'n' ৰ মান উলিওৱা। তাৰ পিছত, 'n' ব্যৱহাৰ কৰি বৰ্গৰ যোগফল উলিওৱা।

স্তৰ 1: 'n' উলিওৱা।

দিয়া হৈছে: যোগফল = 120।
সূত্ৰ: n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240।
পৰীক্ষা কৰি পাওঁ, 15 x 16 = 240। গতিকে, n = 15।

স্তৰ 2: n=15 ৰ বাবে বৰ্গৰ যোগফল উলিওৱা।

সূত্ৰ: বৰ্গৰ যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6।
n=15 বহুৱাওক: যোগফল = 15 x 16 x 31 / 6।
গণনা কৰক: যোগফল = 240 x 31 / 6 = 1240।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সূত্ৰ/গণনা	ফলাফল
1	n উলিওৱা	n(n+1)/2 = 120 => n(n+1) = 240	n=15
2	বৰ্গৰ যোগফল গণনা	15 x 16 x 31 / 6	1240

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 120: এইটো স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ মূল যোগফল।
B) 14400: এইটো যোগফলৰ বৰ্গ (120²), যিটো *ঘন*ৰ যোগফল, বৰ্গৰ নহয়।
C) 620: এইটো এটা যাদৃচ্ছিক গণনা ত্ৰুটি।
D) 940: এইটো দ্বিতীয় স্তৰত ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে। শুদ্ধ যোগফল 1240।

StudyBix.com-Q13: What is the sum of the first 100 natural numbers?

A
5000
B
10100
C
5050
D
5500
E
4950

StudyBix.com-Q13: पहली 100 प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
5000
B
10100
C
5050
D
5500
E
4950

StudyBix.com-Q13: প্ৰথম 100টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল কিমান?

A
5000
B
10100
C
5050
D
5500
E
4950

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Correct Answer Explanation: To find the sum of the first 'n' natural numbers, we use the formula: Sum = n(n+1)/2. Here, 'n' is 100.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 100.
Apply formula: Sum = 100 x (100 + 1) / 2 = 100 x 101 / 2.
Calculate: Sum = 10100 / 2 = 5050.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	100	The number of natural numbers to sum.
Formula	n(n+1)/2	Formula for the sum of first n natural numbers.
Calculation	100 x 101 / 2	Substituting the value of n.
Result	5050	The final sum.

Why other options are incorrect:

A) 5000: This might be from calculating 100 x 100 / 2. The formula requires (n+1).
B) 10100: This is the numerator 100 x 101, but forgetting to divide by 2.
D) 5500: This is a calculation error.
E) 4950: This is the sum of the first 99 natural numbers (99 x 100 / 2).

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: योग = n(n+1)/2। यहाँ, 'n' 100 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 100।
सूत्र लागू करें: योग = 100 x (100 + 1) / 2 = 100 x 101 / 2।
गणना करें: योग = 10100 / 2 = 5050।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	100	जोड़ी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	100 x 101 / 2	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	5050	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 5000: यह 100 x 100 / 2 की गणना से हो सकता है। सूत्र में (n+1) की आवश्यकता है।
B) 10100: यह अंश 100 x 101 है, लेकिन 2 से विभाजित करना भूल गया है।
D) 5500: यह एक गणना त्रुटि है।
E) 4950: यह पहली 99 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (99 x 100 / 2)।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি সুপৰিচিত সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)/2। এই প্ৰশ্নটোত, 'n' হৈছে 100।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 100।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 100 x (100 + 1) / 2 = 100 x 101 / 2।
গণনা কৰক: যোগফল = 10100 / 2 = 5050।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	100	যোগ কৰিবলগীয়া স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	100 x 101 / 2	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	5050	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 5000: এইটো 100 x 100 / 2 গণনা কৰি পোৱা যাব পাৰে। সূত্ৰত (n+1) লাগে।
B) 10100: এইটো লৱ 100 x 101, কিন্তু 2 ৰে হৰণ কৰিবলৈ পাহৰি যোৱা হৈছে।
D) 5500: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।
E) 4950: এইটো প্ৰথম 99টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (99 x 100 / 2)।

StudyBix.com-Q14: The sum of squares of the first 'n' natural numbers is 285. Find 'n'.

A
8
B
10
C
9
D
7
E
11

StudyBix.com-Q14: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 285 है। 'n' ज्ञात करें।

A
8
B
10
C
9
D
7
E
11

StudyBix.com-Q14: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 285। 'n' উলিওৱা।

A
8
B
10
C
9
D
7
E
11

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Correct Answer Explanation: We are given that the sum of the squares of the first 'n' numbers is 285. The formula is Sum = n(n+1)(2n+1)/6. We need to solve n(n+1)(2n+1)/6 = 285. Testing the options is the most efficient method.

Step-by-step Calculation (by testing options):

Test n=9: Sum = 9 x (9+1) x (2x9+1) / 6.
Sum = 9 x 10 x 19 / 6.
Sum = 90 x 19 / 6 = 1710 / 6 = 285.
This matches the given sum. Therefore, n = 9.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Test	Result
1	Given Information	Sum of Squares = 285	-
2	Formula	n(n+1)(2n+1)/6 = 285	-
3	Test n=9	9 x 10 x 19 / 6	285 (Correct)
4	Conclusion	The value of n is 9.	-

Why other options are incorrect:

A) 8: For n=8, the sum of squares is 204.
B) 10: For n=10, the sum of squares is 385.
D) 7: For n=7, the sum of squares is 140.
E) 11: For n=11, the sum of squares is 506.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें दिया गया है कि पहली 'n' संख्याओं के वर्गों का योग 285 है। सूत्र है: योग = n(n+1)(2n+1)/6। हमें n(n+1)(2n+1)/6 = 285 को हल करने की आवश्यकता है। दिए गए विकल्पों का परीक्षण करना सबसे कुशल तरीका है।

चरण-दर-चरण गणना (विकल्पों का परीक्षण करके):

n=9 का परीक्षण करें: योग = 9 x (9+1) x (2x9+1) / 6।
योग = 9 x 10 x 19 / 6।
योग = 90 x 19 / 6 = 1710 / 6 = 285।
यह दिए गए योग से मेल खाता है। इसलिए, n = 9।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परीक्षण	परिणाम
1	दी गई जानकारी	वर्गों का योग = 285	-
2	सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6 = 285	-
3	n=9 का परीक्षण करें	9 x 10 x 19 / 6	285 (सही)
4	निष्कर्ष	n का मान 9 है।	-

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 8: n=8 के लिए, वर्गों का योग 204 है।
B) 10: n=10 के लिए, वर्गों का योग 385 है।
D) 7: n=7 के लिए, वर्गों का योग 140 है।
E) 11: n=11 के लिए, वर्गों का योग 506 है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমাক দিয়া হৈছে যে প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 285। সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6। আমি n(n+1)(2n+1)/6 = 285 সমাধান কৰিব লাগিব। এনে ক্ষেত্ৰত, দিয়া বিকল্পবোৰ পৰীক্ষা কৰাটোৱেই আটাইতকৈ কাৰ্যকৰী পদ্ধতি।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা (বিকল্প পৰীক্ষা কৰি):

n=9 পৰীক্ষা কৰক: যোগফল = 9 x (9+1) x (2x9+1) / 6।
যোগফল = 9 x 10 x 19 / 6।
যোগফল = 90 x 19 / 6 = 1710 / 6 = 285।
এইটো দিয়া যোগফলৰ সৈতে মিলে। গতিকে, n = 9।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/পৰীক্ষা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	বৰ্গৰ যোগফল = 285	-
2	সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6 = 285	-
3	n=9 পৰীক্ষা	9 x 10 x 19 / 6	285 (সঠিক)
4	সিদ্ধান্ত	n ৰ মান 9।	-

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 8: n=8 ৰ বাবে, বৰ্গৰ যোগফল 204।
B) 10: n=10 ৰ বাবে, বৰ্গৰ যোগফল 385।
D) 7: n=7 ৰ বাবে, বৰ্গৰ যোগফল 140।
E) 11: n=11 ৰ বাবে, বৰ্গৰ যোগফল 506।

StudyBix.com-Q15: Calculate the sum 1³ + 2³ + 3³ + ... + 15³.

A
14400
B
1240
C
120
D
15000
E
13200

StudyBix.com-Q15: योग 1³ + 2³ + 3³ + ... + 15³ की गणना करें।

A
14400
B
1240
C
120
D
15000
E
13200

StudyBix.com-Q15: 1³ + 2³ + 3³ + ... + 15³ যোগফলটো গণনা কৰক।

A
14400
B
1240
C
120
D
15000
E
13200

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Correct Answer Explanation: The problem asks for the sum of the cubes of the first 15 natural numbers. The formula is Sum = [n(n+1)/2]². Here, n = 15.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 15.
First, calculate the sum of the first 15 natural numbers: 15 x (15 + 1) / 2 = 15 x 16 / 2 = 120.
Now, square this result: Sum of cubes = (120)² = 14400.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	15	The number of terms.
Formula	[n(n+1)/2]²	Formula for sum of cubes.
Step 1: Sum of n	120	The sum of the first 15 natural numbers.
Step 2: Square the sum	14400	The final sum of the cubes.

Why other options are incorrect:

B) 1240: This is the sum of the *squares* of the first 15 natural numbers.
C) 120: This is the sum of the first 15 natural numbers, but it has not been squared.
D) 15000: This is an incorrect calculation.
E) 13200: This might be a multiplication error, perhaps 120 x 110.

सही उत्तर की व्याख्या: प्रश्न में पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग पूछा गया है। इसका सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। यहाँ, n = 15 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 15।
सबसे पहले, पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग गणना करें: 15 x (15 + 1) / 2 = 15 x 16 / 2 = 120।
अब, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = (120)² = 14400।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	15	पदों की संख्या।
सूत्र	[n(n+1)/2]²	घनों के योग का सूत्र।
चरण 1: n का योग	120	पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग।
चरण 2: योग का वर्ग	14400	घनों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 1240: यह पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं के *वर्गों* का योग है।
C) 120: यह पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, लेकिन इसका वर्ग नहीं किया गया है।
D) 15000: यह एक गलत गणना है।
E) 13200: यह एक गुणन त्रुटि हो सकती है, शायद 120 x 110।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰশ্নটোত প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল বিচৰা হৈছে। ইয়াৰ বাবে সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। ইয়াত, n = 15।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 15।
প্ৰথমে, প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: 15 x (15 + 1) / 2 = 15 x 16 / 2 = 120।
এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (120)² = 14400।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	15	শৃংখলাটোৰ পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	[n(n+1)/2]²	ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
স্তৰ 1: n ৰ যোগফল	120	প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: যোগফলৰ বৰ্গ	14400	ঘনৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 1240: এইটো প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ *বৰ্গ*ৰ যোগফল।
C) 120: এইটো প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, কিন্তু ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ অনুসৰি ইয়াক বৰ্গ কৰা হোৱা নাই।
D) 15000: এইটো এটা অশুদ্ধ গণনা।
E) 13200: এইটো এটা পূৰণৰ ত্ৰুটিৰ ফলত হ'ব পাৰে, যেনে 120 x 110।

StudyBix.com-Q16: What is the difference between the sum of the first 20 natural numbers and the sum of the first 10 natural numbers?

A
155
B
210
C
55
D
165
E
150

StudyBix.com-Q16: पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के योग और पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के योग के बीच क्या अंतर है?

A
155
B
210
C
55
D
165
E
150

StudyBix.com-Q16: প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল আৰু প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ মাজৰ পাৰ্থক্য কিমান?

A
155
B
210
C
55
D
165
E
150

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Correct Answer Explanation: This question asks for (Sum of first 20 numbers) - (Sum of first 10 numbers). We will calculate both sums separately and then find the difference.

Step-by-step Calculation:

Calculate S₂₀: 20 x 21 / 2 = 210.
Calculate S₁₀: 10 x 11 / 2 = 55.
Find the difference: 210 - 55 = 155.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula	Result
1	Sum of first 20 (S₂₀)	n(n+1)/2	210
2	Sum of first 10 (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	Difference	S₂₀ - S₁₀	155

Why other options are incorrect:

B) 210: This is the sum of the first 20 numbers, not the difference.
C) 55: This is the sum of the first 10 numbers, not the difference.
D) 165: This is a subtraction error.
E) 150: This is another calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: यह प्रश्न (पहली 20 संख्याओं का योग) - (पहली 10 संख्याओं का योग) पूछता है। हम दोनों योगों की अलग-अलग गणना करेंगे और फिर अंतर ज्ञात करेंगे।

चरण-दर-चरण गणना:

S₂₀ की गणना करें: 20 x 21 / 2 = 210।
S₁₀ की गणना करें: 10 x 11 / 2 = 55।
अंतर ज्ञात करें: 210 - 55 = 155।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र	परिणाम
1	पहली 20 का योग (S₂₀)	n(n+1)/2	210
2	पहली 10 का योग (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	अंतर	S₂₀ - S₁₀	155

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 210: यह पहली 20 संख्याओं का योग है, अंतर नहीं।
C) 55: यह पहली 10 संख्याओं का योग है, अंतर नहीं।
D) 165: यह एक घटाव त्रुटि है।
E) 150: यह एक और गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এই প্ৰশ্নটোত (প্ৰথম 20টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 10টা সংখ্যাৰ যোগফল) বিচৰা হৈছে। আমি দুয়োটা যোগফল পৃথকভাৱে গণনা কৰিম আৰু তাৰ পিছত পাৰ্থক্য উলিওৱা হ'ব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

S₂₀ গণনা কৰক: 20 x 21 / 2 = 210।
S₁₀ গণনা কৰক: 10 x 11 / 2 = 55।
পাৰ্থক্য উলিওৱা: 210 - 55 = 155।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ	ফলাফল
1	প্ৰথম 20 ৰ যোগফল (S₂₀)	n(n+1)/2	210
2	প্ৰথম 10 ৰ যোগফল (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	পাৰ্থক্য	S₂₀ - S₁₀	155

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 210: এইটো প্ৰথম 20টা সংখ্যাৰ যোগফল, পাৰ্থক্য নহয়।
C) 55: এইটো প্ৰথম 10টা সংখ্যাৰ যোগফল, পাৰ্থক্য নহয়।
D) 165: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।
E) 150: এইটো আন এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q17: The sum of the first 'n' natural numbers is 276. What is the value of 'n'?

A
24
B
25
C
22
D
23
E
26

StudyBix.com-Q17: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 276 है। 'n' का मान क्या है?

A
24
B
25
C
22
D
23
E
26

StudyBix.com-Q17: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 276। 'n' ৰ মান কিমান?

A
24
B
25
C
22
D
23
E
26

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Correct Answer Explanation: We use the formula n(n+1)/2 = 276 to find 'n'.

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: n(n+1)/2 = 276.
Multiply both sides by 2: n(n+1) = 552.
Test Option D (n=23): n(n+1) = 23 x 24 = 552. This matches.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum = 276
2	Simplify Equation	n(n+1) = 552
3	Test Option D (n=23)	23 x 24 = 552
4	Conclusion	The value of n is 23.

Why other options are incorrect:

A) 24: If n=24, the sum would be 300.
B) 25: If n=25, the sum would be 325.
C) 22: If n=22, the sum would be 253.
E) 26: If n=26, the sum would be 351.

सही उत्तर की व्याख्या: हम 'n' ज्ञात करने के लिए सूत्र n(n+1)/2 = 276 का उपयोग करते हैं।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: n(n+1)/2 = 276।
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: n(n+1) = 552।
विकल्प D (n=23) का परीक्षण करें: n(n+1) = 23 x 24 = 552। यह मेल खाता है।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	योग = 276
2	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 552
3	विकल्प D (n=23) का परीक्षण करें	23 x 24 = 552
4	निष्कर्ष	n का मान 23 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 24: यदि n=24, तो योग 300 होगा।
B) 25: यदि n=25, तो योग 325 होगा।
C) 22: यदि n=22, तो योग 253 होगा।
E) 26: यदि n=26, तो योग 351 होगा।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি 'n' উলিয়াবলৈ n(n+1)/2 = 276 সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: n(n+1)/2 = 276।
দুয়ো পক্ষক 2 ৰে পূৰণ কৰক: n(n+1) = 552।
বিকল্প D (n=23) পৰীক্ষা কৰক: n(n+1) = 23 x 24 = 552। এইটো মিলে।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	যোগফল = 276
2	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 552
3	বিকল্প D (n=23) পৰীক্ষা	23 x 24 = 552
4	সিদ্ধান্ত	n ৰ মান 23।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 24: যদি n=24, যোগফল হ'ব 300।
B) 25: যদি n=25, যোগফল হ'ব 325।
C) 22: যদি n=22, যোগফল হ'ব 253।
E) 26: যদি n=26, যোগফল হ'ব 351।

StudyBix.com-Q18: If the sum of squares of the first 10 natural numbers is 385, what is the sum of cubes of the first 10 natural numbers?

A
3850
B
55
C
3025
D
385
E
2870

StudyBix.com-Q18: यदि पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 385 है, तो पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या होगा?

A
3850
B
55
C
3025
D
385
E
2870

StudyBix.com-Q18: যদি প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 385 হয়, তেন্তে প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল কিমান হ'ব?

A
3850
B
55
C
3025
D
385
E
2870

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Correct Answer Explanation: The given sum of squares is extra information. We only need n=10 to calculate the sum of the cubes.

Step-by-step Calculation:

The formula for the sum of cubes is [n(n+1)/2]².
First, calculate the sum of the first 10 numbers: 10 x 11 / 2 = 55.
Now, square this result: Sum of Cubes = 55² = 3025.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	10	The number of terms.
Step 1: n(n+1)/2	55	Sum of first 10 natural numbers.
Step 2: (Result)²	3025	Final sum of cubes.

Why other options are incorrect:

A) 3850: This is 385 x 10, an incorrect procedure.
B) 55: This is the sum of the first 10 numbers, an intermediate step.
D) 385: This is the sum of the squares, given in the question.
E) 2870: This is the sum of squares of the first 20 natural numbers.

सही उत्तर की व्याख्या: वर्गों का दिया गया योग अतिरिक्त जानकारी है। हमें घनों के योग की गणना के लिए केवल n=10 की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

घनों के योग का सूत्र [n(n+1)/2]² है।
सबसे पहले, पहली 10 संख्याओं का योग गणना करें: 10 x 11 / 2 = 55।
अब, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = 55² = 3025।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	10	पदों की संख्या।
चरण 1: n(n+1)/2	55	पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	3025	घनों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 3850: यह 385 x 10 है, एक गलत प्रक्रिया।
B) 55: यह पहली 10 संख्याओं का योग है, एक मध्यवर्ती चरण।
D) 385: यह वर्गों का योग है, जो प्रश्न में दिया गया था।
E) 2870: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: বৰ্গৰ যোগফলটো অতিৰিক্ত তথ্য হিচাপে দিয়া হৈছে। আমি কেৱল n=10 বুলি জানিলেই হ'ব আৰু তাৰ পিছত ঘনৰ যোগফল গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে [n(n+1)/2]²।
প্ৰথমে, প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: 10 x 11 / 2 = 55।
এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = 55² = 3025।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	10	পদৰ সংখ্যা।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	55	প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	3025	ঘনৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 3850: এইটো 385 x 10, এটা অশুদ্ধ পদ্ধতি।
B) 55: এইটো প্ৰথম 10টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, যিটো এটা মধ্যৱৰ্তী স্তৰ।
D) 385: এইটো প্ৰথম 10টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল, যিটো প্ৰশ্নটোত দিয়া হৈছিল।
E) 2870: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল।

StudyBix.com-Q19: Find the sum: 1 + 2 + 3 + ... + 50.

A
1275
B
1225
C
2550
D
2500
E
1250

StudyBix.com-Q19: योग ज्ञात करें: 1 + 2 + 3 + ... + 50।

A
1275
B
1225
C
2550
D
2500
E
1250

StudyBix.com-Q19: যোগফলটো উলিওৱা: 1 + 2 + 3 + ... + 50।

A
1275
B
1225
C
2550
D
2500
E
1250

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Correct Answer Explanation: The question asks for the sum of the first 50 natural numbers. The formula is Sum = n(n+1)/2. Here, n = 50.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 50.
Apply formula: Sum = 50 x (50 + 1) / 2 = 50 x 51 / 2.
Calculate: Sum = 2550 / 2 = 1275.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	50	The number of natural numbers to sum.
Formula	n(n+1)/2	Formula for the sum of first n natural numbers.
Calculation	50 x 51 / 2	Substituting the value of n.
Result	1275	The final sum.

Why other options are incorrect:

B) 1225: This is 35², or the sum of the first 35 odd numbers.
C) 2550: This is the product 50 x 51, without dividing by 2.
D) 2500: This is 50², the sum of the first 50 *odd* numbers.
E) 1250: This might be from calculating 50 x 50 / 2.

सही उत्तर की व्याख्या: प्रश्न में पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग पूछा गया है। सूत्र है: योग = n(n+1)/2। यहाँ, n = 50 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 50।
सूत्र लागू करें: योग = 50 x (50 + 1) / 2 = 50 x 51 / 2।
गणना करें: योग = 2550 / 2 = 1275।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	50	जोड़ी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	50 x 51 / 2	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	1275	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 1225: यह 35² है, या पहली 35 विषम संख्याओं का योग है।
C) 2550: यह 50 x 51 का गुणनफल है, बिना 2 से विभाजित किए।
D) 2500: यह 50² है, पहली 50 *विषम* संख्याओं का योग।
E) 1250: यह 50 x 50 / 2 की गणना से हो सकता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰশ্নটোত প্ৰথম 50টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল বিচৰা হৈছে। সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)/2। ইয়াত, n = 50।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 50।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 50 x (50 + 1) / 2 = 50 x 51 / 2।
গণনা কৰক: যোগফল = 2550 / 2 = 1275।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	50	যোগ কৰিবলগীয়া স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	50 x 51 / 2	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	1275	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 1225: এইটো 35², বা প্ৰথম 35টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল।
C) 2550: এইটো 50 আৰু 51 ৰ পূৰণফল, 2 ৰে হৰণ নকৰাকৈ।
D) 2500: এইটো 50², প্ৰথম 50টা *অযুগ্ম* সংখ্যাৰ যোগফল।
E) 1250: এইটো 50 x 50 / 2 ৰ দৰে এটা ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে।

StudyBix.com-Q20: What is the sum of the squares of the first 5 natural numbers?

A
55
B
25
C
15
D
225
E
65

StudyBix.com-Q20: पहली 5 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?

A
55
B
25
C
15
D
225
E
65

StudyBix.com-Q20: প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল কিমান?

A
55
B
25
C
15
D
225
E
65

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Correct Answer Explanation: This question asks for 1² + 2² + 3² + 4² + 5². We use the formula Sum = n(n+1)(2n+1)/6. Here, n = 5.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 5.
Apply formula: Sum = 5 x (5+1) x (2x5+1) / 6 = 5 x 6 x 11 / 6.
The '6' in the numerator and denominator cancel out. Sum = 5 x 11 = 55.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	5	The number of terms.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for sum of squares.
Calculation	5 x 6 x 11 / 6	Substituting the value of n.
Result	55	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

B) 25: This is just the square of the last term, 5².
C) 15: This is the sum of the first 5 natural numbers.
D) 225: This is the sum of the cubes of the first 5 natural numbers (15²).
E) 65: This could be a calculation error, perhaps 5 x 13.

सही उत्तर की व्याख्या: यह प्रश्न 1² + 2² + 3² + 4² + 5² का योग पूछता है। हम सूत्र योग = n(n+1)(2n+1)/6 का उपयोग करते हैं। यहाँ, n = 5 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 5।
सूत्र लागू करें: योग = 5 x (5+1) x (2x5+1) / 6 = 5 x 6 x 11 / 6।
अंश और हर में '6' कट जाता है। योग = 5 x 11 = 55।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	5	पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	5 x 6 x 11 / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	55	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 25: यह सिर्फ अंतिम पद का वर्ग है, 5²।
C) 15: यह पहली 5 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
D) 225: यह पहली 5 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है (15²)।
E) 65: यह एक गणना त्रुटि हो सकती है, शायद 5 x 13।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এই প্ৰশ্নটোত 1² + 2² + 3² + 4² + 5² ৰ যোগফল বিচৰা হৈছে। আমি সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6। ইয়াত, n = 5।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 5।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 5 x (5+1) x (2x5+1) / 6 = 5 x 6 x 11 / 6।
লৱ আৰু হৰৰ '6' টো বাতিল হৈ যায়। যোগফল = 5 x 11 = 55।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	5	শৃংখলাটোৰ পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	5 x 6 x 11 / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	55	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 25: এইটো কেৱল শেষৰ পদটোৰ বৰ্গ, 5²।
C) 15: এইটো প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 225: এইটো প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল (15²)।
E) 65: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি হ'ব পাৰে, যেনে 5 x 13।

StudyBix.com-Q21: What is the sum of natural numbers from 21 to 40?

A
630
B
820
C
210
D
610
E
590

StudyBix.com-Q21: 21 से 40 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
630
B
820
C
210
D
610
E
590

StudyBix.com-Q21: 21 ৰ পৰা 40 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ যোগফল কিমান?

A
630
B
820
C
210
D
610
E
590

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Correct Answer Explanation: To find the sum of numbers in a range (from m to n), we calculate the sum of the first 'n' numbers and subtract the sum of the first 'm-1' numbers. Here, n = 40 and m = 21. So we need to calculate (Sum of first 40 numbers) - (Sum of first 20 numbers).

Step-by-step Calculation:

Calculate the sum of the first 40 numbers (S₄₀): S₄₀ = 40 x (40 + 1) / 2 = 40 x 41 / 2 = 1640 / 2 = 820.
Calculate the sum of the first 20 numbers (S₂₀): S₂₀ = 20 x (20 + 1) / 2 = 20 x 21 / 2 = 420 / 2 = 210.
Subtract the second sum from the first: Sum (21 to 40) = S₄₀ - S₂₀ = 820 - 210 = 610.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of first 40 (S₄₀)	n(n+1)/2	820
2	Sum of first 20 (S₂₀)	n(n+1)/2	210
3	Final Sum	S₄₀ - S₂₀	610

Why other options are incorrect:

A) 630: This is a simple calculation error. The correct value is 610.
B) 820: This is the sum of all numbers from 1 to 40. It fails to exclude the sum of numbers from 1 to 20.
C) 210: This is the sum of numbers from 1 to 20, which is the part that needs to be subtracted.
E) 590: This might result from incorrectly subtracting the sum of the first 21 numbers (231) instead of the first 20: 820 - 231 = 589. This option is a close approximation to that common mistake.

सही उत्तर की व्याख्या: एक सीमा (m से n तक) में संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहली 'n' संख्याओं के योग की गणना करते हैं और उसमें से पहली 'm-1' संख्याओं के योग को घटाते हैं। यहाँ, n = 40 और m = 21 है। इसलिए हमें (पहली 40 संख्याओं का योग) - (पहली 20 संख्याओं का योग) की गणना करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 40 संख्याओं का योग (S₄₀) की गणना करें: S₄₀ = 40 x (40 + 1) / 2 = 40 x 41 / 2 = 1640 / 2 = 820।
पहली 20 संख्याओं का योग (S₂₀) की गणना करें: S₂₀ = 20 x (20 + 1) / 2 = 20 x 21 / 2 = 420 / 2 = 210।
पहले योग में से दूसरे को घटाएं: योग (21 से 40) = S₄₀ - S₂₀ = 820 - 210 = 610।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 40 का योग (S₄₀)	n(n+1)/2	820
2	पहली 20 का योग (S₂₀)	n(n+1)/2	210
3	अंतिम योग	S₄₀ - S₂₀	610

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 630: यह एक साधारण गणना त्रुटि है। सही मान 610 है।
B) 820: यह 1 से 40 तक की सभी संख्याओं का योग है। यह 1 से 20 तक की संख्याओं के योग को बाहर करने में विफल रहता है।
C) 210: यह 1 से 20 तक की संख्याओं का योग है, जो वह हिस्सा है जिसे घटाया जाना है।
E) 590: यह पहली 20 के बजाय पहली 21 संख्याओं (231) के योग को गलत तरीके से घटाने का परिणाम हो सकता है: 820 - 231 = 589। यह विकल्प उस आम गलती का एक करीबी अनुमान है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসৰৰ (m ৰ পৰা n লৈ) সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি প্ৰথম 'n' টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰি তাৰ পৰা প্ৰথম 'm-1' টা সংখ্যাৰ যোগফল বিয়োগ কৰোঁ। ইয়াত, n = 40 আৰু m = 21। গতিকে আমি (প্ৰথম 40 টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 20 টা সংখ্যাৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 40 টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক (S₄₀): S₄₀ = 40 x (40 + 1) / 2 = 40 x 41 / 2 = 1640 / 2 = 820।
প্ৰথম 20 টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক (S₂₀): S₂₀ = 20 x (20 + 1) / 2 = 20 x 21 / 2 = 420 / 2 = 210।
প্ৰথম যোগফলৰ পৰা দ্বিতীয়টো বিয়োগ কৰক: যোগফল (21 ৰ পৰা 40) = S₄₀ - S₂₀ = 820 - 210 = 610।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 40 ৰ যোগফল (S₄₀)	n(n+1)/2	820
2	প্ৰথম 20 ৰ যোগফল (S₂₀)	n(n+1)/2	210
3	অন্তিম যোগফল	S₄₀ - S₂₀	610

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 630: এইটো এটা সাধাৰণ গণনা ত্ৰুটি। শুদ্ধ মান হৈছে 610।
B) 820: এইটো 1 ৰ পৰা 40 লৈকে সকলো সংখ্যাৰ যোগফল। ই 1 ৰ পৰা 20 লৈকে সংখ্যাবোৰৰ যোগফল বাদ দিবলৈ ব্যৰ্থ হৈছে।
C) 210: এইটো 1 ৰ পৰা 20 লৈকে সংখ্যাবোৰৰ যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে।
E) 590: এইটো প্ৰথম 20 ৰ পৰিৱৰ্তে প্ৰথম 21 টা সংখ্যাৰ যোগফল (231) ভুলকৈ বিয়োগ কৰাৰ ফলত হ'ব পাৰে: 820 - 231 = 589। এই বিকল্পটো সেই সাধাৰণ ভুলৰ এটা ওচৰা-ওচৰি অনুমান।

StudyBix.com-Q22: What is the sum of the cubes of the first 20 natural numbers?

A
44100
B
2870
C
210
D
8000
E
42000

StudyBix.com-Q22: पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
44100
B
2870
C
210
D
8000
E
42000

StudyBix.com-Q22: প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
44100
B
2870
C
210
D
8000
E
42000

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Correct Answer Explanation: The formula for the sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is Sum = [n(n+1)/2]². For this problem, n = 20.

Step-by-step Calculation:

First, calculate the sum of the first 20 natural numbers: Sum of n = 20 x (20 + 1) / 2 = 210.
Next, square this sum to find the sum of the cubes: Sum of cubes = (210)² = 44100.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	20	The number of terms.
Formula	[n(n+1)/2]²	Formula for the sum of cubes.
Step 1: n(n+1)/2	210	Sum of the first 20 natural numbers.
Step 2: (Result)²	44100	Squaring the sum to get the sum of cubes.

Why other options are incorrect:

B) 2870: This is the sum of the *squares* of the first 20 natural numbers.
C) 210: This is the sum of the first 20 natural numbers, which is an intermediate step.
D) 8000: This is the cube of 20 (20³), representing only the last term.
E) 42000: This is a calculation error of 210².

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। इस समस्या के लिए, n = 20 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सबसे पहले, पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग गणना करें: n का योग = 20 x (20 + 1) / 2 = 210।
इसके बाद, घनों का योग ज्ञात करने के लिए इस योग का वर्ग करें: घनों का योग = (210)² = 44100।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	20	पदों की संख्या।
सूत्र	[n(n+1)/2]²	घनों के योग का सूत्र।
चरण 1: n(n+1)/2	210	पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	44100	घनों का योग प्राप्त करने के लिए योग का वर्ग करना।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 2870: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं के *वर्गों* का योग है।
C) 210: यह पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, जो एक मध्यवर्ती चरण है।
D) 8000: यह 20 का घन (20³) है, जो श्रृंखला में केवल अंतिम पद का प्रतिनिधित्व करता है।
E) 42000: यह 210² की एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। এই প্ৰশ্নটোৰ বাবে, n = 20।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথমে, প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: n ৰ যোগফল = 20 x (20 + 1) / 2 = 210।
ইয়াৰ পিছত, ঘনৰ যোগফল উলিয়াবলৈ এই যোগফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (210)² = 44100।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	20	পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	[n(n+1)/2]²	ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	210	প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	44100	ঘনৰ যোগফল পাবলৈ যোগফলটোৰ বৰ্গ।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 2870: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ *বৰ্গ*ৰ যোগফল।
C) 210: এইটো প্ৰথম 20টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল, যিটো মধ্যৱৰ্তী স্তৰ।
D) 8000: এইটো 20-ৰ ঘন (20³), শৃংখলাটোৰ কেৱল শেষৰ পদটো।
E) 42000: এইটো 210² ৰ এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q23: The sum of 'n' natural numbers is 66. Find the sum of the cubes of these 'n' natural numbers.

A
4356
B
66
C
11
D
77
E
4236

StudyBix.com-Q23: 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 66 है। इन 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करें।

A
4356
B
66
C
11
D
77
E
4236

StudyBix.com-Q23: 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 66। এই 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল উলিওৱা।

A
4356
B
66
C
11
D
77
E
4236

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Correct Answer Explanation: This problem uses the direct relationship: Sum of Cubes = (Sum of first n numbers)². We are given the sum of the numbers is 66.

Step-by-step Calculation:

Given sum of 'n' numbers = 66.
Sum of Cubes = (66)².
Calculate: 66 x 66 = 4356.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Formula/Calculation	Result
1	Given Information	Sum of n numbers = 66	-
2	Find Sum of Cubes	(Sum of n numbers)²	4356

Why other options are incorrect:

B) 66: This is the sum of the numbers, not their cubes' sum.
C) 11: This is the value of 'n' (since 11x12/2 = 66), not the sum of cubes.
D) 77: This is a calculation error.
E) 4236: This is an error in calculating 66².

सही उत्तर की व्याख्या: यह समस्या सीधे संबंध का उपयोग करती है: घनों का योग = (पहली n संख्याओं का योग)²। हमें दिया गया है कि संख्याओं का योग 66 है।

चरण-दर-चरण गणना:

दिया गया 'n' संख्याओं का योग = 66।
घनों का योग = (66)²।
गणना करें: 66 x 66 = 4356।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	सूत्र/गणना	परिणाम
1	दी गई जानकारी	n संख्याओं का योग = 66	-
2	घनों का योग ज्ञात करें	(योग)²	4356

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 66: यह संख्याओं का योग है, उनके घनों का योग नहीं।
C) 11: यह 'n' का मान है (क्योंकि 11x12/2 = 66), घनों का योग नहीं।
D) 77: यह एक गणना त्रुटि है।
E) 4236: यह 66² की गणना में एक त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এই প্ৰশ্নটোৱে পোনপটীয়া সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ কৰে: ঘনৰ যোগফল = (প্ৰথম n টা সংখ্যাৰ যোগফল)²। আমাক দিয়া হৈছে যে সংখ্যাবোৰৰ যোগফল 66।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

দিয়া 'n' টা সংখ্যাৰ যোগফল = 66।
ঘনৰ যোগফল = (66)²।
গণনা কৰক: 66 x 66 = 4356।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সূত্ৰ/গণনা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	n টা সংখ্যাৰ যোগফল = 66	-
2	ঘনৰ যোগফল উলিওৱা	(যোগফল)²	4356

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 66: এইটো সংখ্যাবোৰৰ যোগফল, সিহঁতৰ ঘনৰ যোগফল নহয়।
C) 11: এইটো 'n' ৰ মান (যিহেতু 11x12/2 = 66), ঘনৰ যোগফল নহয়।
D) 77: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।
E) 4236: এইটো 66² গণনা কৰোঁতে হোৱা এটা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q24: Calculate the sum of squares of natural numbers from 6 to 15.

A
1240
B
55
C
1185
D
1295
E
1015

StudyBix.com-Q24: 6 से 15 तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग गणना करें।

A
1240
B
55
C
1185
D
1295
E
1015

StudyBix.com-Q24: 6 ৰ পৰা 15 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰক।

A
1240
B
55
C
1185
D
1295
E
1015

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Correct Answer Explanation: To find the sum of squares in a range (from m to n), we need (Sum of squares up to n) - (Sum of squares up to m-1). Here, n=15, m=6.

Step-by-step Calculation:

Sum of squares up to 15 (S₁₅²): 15 x 16 x 31 / 6 = 1240.
Sum of squares up to 5 (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55.
Subtract: 1240 - 55 = 1185.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of squares of first 15 (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
2	Sum of squares of first 5 (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	Final Sum	S₁₅² - S₅²	1185

Why other options are incorrect:

A) 1240: This is the sum of squares from 1 to 15.
B) 55: This is the sum of squares from 1 to 5, the part to be subtracted.
D) 1295: This is the sum of both parts (1240 + 55).
E) 1015: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: एक सीमा (m से n तक) में वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए, हमें (n तक के वर्गों का योग) - (m-1 तक के वर्गों का योग) की आवश्यकता है। यहाँ, n=15, m=6 है।

चरण-दर-चरण गणना:

15 तक के वर्गों का योग (S₁₅²): 15 x 16 x 31 / 6 = 1240।
5 तक के वर्गों का योग (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55।
घटाएं: 1240 - 55 = 1185।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 15 के वर्गों का योग (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
2	पहली 5 के वर्गों का योग (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	अंतिम योग	S₁₅² - S₅²	1185

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 1240: यह 1 से 15 तक के वर्गों का योग है।
B) 55: यह 1 से 5 तक के वर्गों का योग है, जिसे घटाया जाना है।
D) 1295: यह दोनों भागों का योग (1240 + 55) है।
E) 1015: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসৰত (m ৰ পৰা n লৈ) বৰ্গৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি (n লৈকে বৰ্গৰ যোগফল) - (m-1 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল) ৰ প্ৰয়োজন। ইয়াত, n=15, m=6।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

15 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল (S₁₅²): 15 x 16 x 31 / 6 = 1240।
5 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55।
বিয়োগ কৰক: 1240 - 55 = 1185।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 15 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
2	প্ৰথম 5 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	অন্তিম যোগফল	S₁₅² - S₅²	1185

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 1240: এইটো 1 ৰ পৰা 15 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল।
B) 55: এইটো 1 ৰ পৰা 5 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 1295: এইটো দুয়োটা অংশৰ যোগফল (1240 + 55)।
E) 1015: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q25: If 1+2+3+...+n = K, then 1³+2³+3³+...+n³ is equal to:

A
K²
B
K³
C
3K
D
K(K+1)/2
E
(2K+1)/6

StudyBix.com-Q25: यदि 1+2+3+...+n = K, तो 1³+2³+3³+...+n³ किसके बराबर है?

A
K²
B
K³
C
3K
D
K(K+1)/2
E
(2K+1)/6

StudyBix.com-Q25: যদি 1+2+3+...+n = K হয়, তেন্তে 1³+2³+3³+...+n³ ৰ সমান কি?

A
K²
B
K³
C
3K
D
K(K+1)/2
E
(2K+1)/6

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Correct Answer Explanation: This question is about the direct relationship between the sum of the first 'n' natural numbers and the sum of their cubes.

Conceptual Explanation:

The sum of the first 'n' natural numbers is given by the formula K = n(n+1)/2.
The sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is given by the formula [n(n+1)/2]².
By substituting the first formula into the second, we see that the sum of cubes is simply K².

Conceptual Summary Chart:

Summation	Formula	Given Variable	Relationship
Sum of n numbers	n(n+1)/2	K	K = n(n+1)/2
Sum of n³ numbers	[n(n+1)/2]²	?	[K]²

Why other options are incorrect:

B) K³: This incorrectly suggests a cubic relationship.
C) 3K: This suggests a linear relationship.
D) K(K+1)/2: This is the formula for the sum of the first K natural numbers.
E) (2K+1)/6: This expression is unrelated to the sum of cubes.

सही उत्तर की व्याख्या: यह पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के योग और उनके घनों के योग के बीच सीधे संबंध के बारे में एक प्रश्न है।

वैचारिक व्याख्या:

पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र K = n(n+1)/2 द्वारा दिया गया है।
पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग सूत्र [n(n+1)/2]² द्वारा दिया गया है।
पहले सूत्र को दूसरे में प्रतिस्थापित करके, हम देखते हैं कि घनों का योग केवल K² है।

अवधारणा सारांश तालिका:

योग	सूत्र	दिया गया चर	संबंध
n संख्याओं का योग	n(n+1)/2	K	K = n(n+1)/2
n³ संख्याओं का योग	[n(n+1)/2]²	?	[K]²

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) K³: यह गलत तरीके से एक घन संबंध का सुझाव देता है।
C) 3K: यह एक रैखिक संबंध का सुझाव देता है।
D) K(K+1)/2: यह पहली K प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है।
E) (2K+1)/6: यह व्यंजक घनों के योग से असंबंधित है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এইটো প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল আৰু সিহঁতৰ ঘনৰ যোগফলৰ মাজৰ পোনপটীয়া সম্পৰ্কৰ বিষয়ে এটা প্ৰশ্ন।

ধাৰণাগত ব্যাখ্যা:

প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল K = n(n+1)/2 সূত্ৰৰ দ্বাৰা দিয়া হয়।
প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল [n(n+1)/2]² সূত্ৰৰ দ্বাৰা দিয়া হয়।
প্ৰথম সূত্ৰটো দ্বিতীয়টোত বহুৱাই আমি দেখিবলৈ পাওঁ যে ঘনৰ যোগফলটো కేৱল K²।

ধাৰণাগত সাৰাংশ তালিকা:

যোগফল	সূত্ৰ	দিয়া চলক	সম্পৰ্ক
n টা সংখ্যাৰ যোগফল	n(n+1)/2	K	K = n(n+1)/2
n³ টা সংখ্যাৰ যোগফল	[n(n+1)/2]²	?	[K]²

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) K³: এইটোৱে ভুলকৈ এটা ঘন সম্পৰ্ক সূচায়।
C) 3K: এইটোৱে এটা ৰৈখিক সম্পৰ্ক সূচায়।
D) K(K+1)/2: এইটো প্ৰথম K টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
E) (2K+1)/6: এই অভিব্যক্তিটো ঘনৰ যোগফলৰ সৈতে সম্পৰ্কহীন।

StudyBix.com-Q26: Find the sum of the first 60 natural numbers.

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

StudyBix.com-Q26: पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

StudyBix.com-Q26: প্ৰথম 60টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

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Correct Answer Explanation: To find the sum of the first 'n' natural numbers, we use the formula: Sum = n(n+1)/2. Here, n = 60.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 60.
Apply formula: Sum = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2.
Calculate: Sum = 30 x 61 = 1830.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	60	The number of natural numbers to sum.
Formula	n(n+1)/2	Formula for the sum of first n natural numbers.
Calculation	60 x 61 / 2	Substituting the value of n.
Result	1830	The final sum.

Why other options are incorrect:

A) 1800: This might be a result of calculating 60 x 60 / 2.
C) 3600: This is 60², the sum of the first 60 odd numbers.
D) 1770: This is the sum of the first 59 natural numbers (59 x 60 / 2).
E) 1860: This is a calculation error, possibly from 30 x 62.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: योग = n(n+1)/2। यहाँ, n = 60 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 60।
सूत्र लागू करें: योग = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2।
गणना करें: योग = 30 x 61 = 1830।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	60	जोड़ी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	60 x 61 / 2	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	1830	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 1800: यह 60 x 60 / 2 की गणना का परिणाम हो सकता है।
C) 3600: यह 60² है, पहली 60 विषम संख्याओं का योग।
D) 1770: यह पहली 59 प्राकृतिक संख्याओं का योग है (59 x 60 / 2)।
E) 1860: यह एक गणना त्रुटि है, संभवतः 30 x 62 से।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি মানক সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)/2। ইয়াত, n = 60।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 60।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2।
গণনা কৰক: যোগফল = 30 x 61 = 1830।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	60	যোগ কৰিবলগীয়া স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	60 x 61 / 2	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	1830	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 1800: এইটো 60 x 60 / 2 ৰ দৰে এটা ভুল গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে।
C) 3600: এইটো 60², প্ৰথম 60টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 1770: এইটো প্ৰথম 59টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল (59 x 60 / 2)।
E) 1860: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি, সম্ভৱতঃ 30 x 62 ৰ পৰা।

StudyBix.com-Q27: What is the sum of the squares of the first 12 natural numbers?

A
144
B
650
C
78
D
6070
E
625

StudyBix.com-Q27: पहली 12 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग क्या है?

A
144
B
650
C
78
D
6070
E
625

StudyBix.com-Q27: প্ৰথম 12টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল কিমান?

A
144
B
650
C
78
D
6070
E
625

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Correct Answer Explanation: The formula is: Sum = n(n+1)(2n+1)/6. Here, n = 12.

Step-by-step Calculation:

Apply formula: Sum = 12 x (12 + 1) x (2 x 12 + 1) / 6.
Simplify: Sum = 12 x 13 x 25 / 6.
Calculate: Sum = 2 x 13 x 25 = 650.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	12	The number of terms.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for sum of squares.
Calculation	(12 x 13 x 25) / 6	Substituting the value of n.
Result	650	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

A) 144: This is 12², only the last term.
C) 78: This is the sum of the first 12 natural numbers.
D) 6070: This is close to the sum of the cubes (78² = 6084).
E) 625: This is 25², likely from a calculation error (25x25 instead of 26x25).

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: योग = n(n+1)(2n+1)/6। यहाँ, n = 12 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सूत्र लागू करें: योग = 12 x (12 + 1) x (2 x 12 + 1) / 6।
सरल करें: योग = 12 x 13 x 25 / 6।
गणना करें: योग = 2 x 13 x 25 = 650।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	12	पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	(12 x 13 x 25) / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	650	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 144: यह 12² है, केवल अंतिम पद।
C) 78: यह पहली 12 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
D) 6070: यह घनों के योग के करीब है (78² = 6084)।
E) 625: यह 25² है, जो संभवतः एक गणना त्रुटि (25x25 के बजाय 26x25) से है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6। ইয়াত, n = 12।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 12 x (12 + 1) x (2 x 12 + 1) / 6।
সৰল কৰক: যোগফল = 12 x 13 x 25 / 6।
গণনা কৰক: যোগফল = 2 x 13 x 25 = 650।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	12	পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	(12 x 13 x 25) / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	650	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 144: এইটো 12², কেৱল শেষৰ পদটো।
C) 78: এইটো প্ৰথম 12টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 6070: এইটো ঘনৰ যোগফলৰ ওচৰা-ওচৰি (78² = 6084)।
E) 625: এইটো 25², সম্ভৱতঃ এটা গণনা ত্ৰুটিৰ ফলত (26x25 ৰ পৰিৱৰ্তে 25x25)।

StudyBix.com-Q28: What is the value of 11 + 12 + 13 + ... + 50?

A
1275
B
1220
C
55
D
1330
E
1230

StudyBix.com-Q28: 11 + 12 + 13 + ... + 50 का मान क्या है?

A
1275
B
1220
C
55
D
1330
E
1230

StudyBix.com-Q28: 11 + 12 + 13 + ... + 50 ৰ মান কিমান?

A
1275
B
1220
C
55
D
1330
E
1230

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Correct Answer Explanation: We need to find (Sum of first 50 numbers) - (Sum of first 10 numbers).

Step-by-step Calculation:

Sum of first 50 (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275.
Sum of first 10 (S₁₀): 10 x 11 / 2 = 55.
Subtract: 1275 - 55 = 1220.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of first 50 (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
2	Sum of first 10 (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	Final Sum	S₅₀ - S₁₀	1220

Why other options are incorrect:

A) 1275: This is the sum from 1 to 50.
C) 55: This is the sum from 1 to 10, the part to be subtracted.
D) 1330: This is the sum of the two parts (1275 + 55).
E) 1230: This is a subtraction error.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें (पहली 50 संख्याओं का योग) - (पहली 10 संख्याओं का योग) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 50 का योग (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275।
पहली 10 का योग (S₁₀): 10 x 11 / 2 = 55।
घटाएं: 1275 - 55 = 1220।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 50 का योग (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
2	पहली 10 का योग (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	अंतिम योग	S₅₀ - S₁₀	1220

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 1275: यह 1 से 50 तक का योग है।
C) 55: यह 1 से 10 तक का योग है, जिसे घटाया जाना है।
D) 1330: यह दोनों भागों का योग (1275 + 55) है।
E) 1230: यह एक घटाव त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমাক (প্ৰথম 50 টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 10 টা সংখ্যাৰ যোগফল)ৰ প্ৰয়োজন।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 50 ৰ যোগফল (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275।
প্ৰথম 10 ৰ যোগফল (S₁₀): 10 x 11 / 2 = 55।
বিয়োগ কৰক: 1275 - 55 = 1220।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 50 ৰ যোগফল (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
2	প্ৰথম 10 ৰ যোগফল (S₁₀)	n(n+1)/2	55
3	অন্তিম যোগফল	S₅₀ - S₁₀	1220

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 1275: এইটো 1 ৰ পৰা 50 লৈকে যোগফল।
C) 55: এইটো 1 ৰ পৰা 10 লৈকে যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 1330: এইটো দুয়োটা অংশৰ যোগফল (1275 + 55)।
E) 1230: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q29: The sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is 2025. Find the sum of the first 'n' natural numbers.

A
45
B
2025
C
9
D
90
E
10

StudyBix.com-Q29: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग 2025 है। पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
45
B
2025
C
9
D
90
E
10

StudyBix.com-Q29: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল 2025। প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
45
B
2025
C
9
D
90
E
10

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Correct Answer Explanation: This question uses the relationship: Sum of Cubes = (Sum of Numbers)².

Step-by-step Calculation:

Given Sum of Cubes = 2025.
Sum of Numbers = √(Sum of Cubes) = √2025.
Calculate: 45 x 45 = 2025. So, the sum of numbers is 45.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Calculation	Result
1	Given Information	Sum of Cubes = 2025	-
2	Use Relationship	Sum of Numbers = √(Sum of Cubes)	45

Why other options are incorrect:

B) 2025: This is the sum of the cubes.
C) 9: This is the value of 'n' (since 9x10/2 = 45).
D) 90: This is 2 times the sum (2 x 45).
E) 10: This is n+1.

सही उत्तर की व्याख्या: यह प्रश्न संबंध का उपयोग करता है: घनों का योग = (संख्याओं का योग)²।

चरण-दर-चरण गणना:

दिया गया घनों का योग = 2025।
संख्याओं का योग = √(घनों का योग) = √2025।
गणना करें: 45 x 45 = 2025। तो, संख्याओं का योग 45 है।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/गणना	परिणाम
1	दी गई जानकारी	घनों का योग = 2025	-
2	संबंध का उपयोग करें	संख्याओं का योग = √(घनों का योग)	45

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 2025: यह घनों का योग है।
C) 9: यह 'n' का मान है (क्योंकि 9x10/2 = 45)।
D) 90: यह योग का 2 गुना (2 x 45) है।
E) 10: यह n+1 है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এই প্ৰশ্নটোৱে সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ কৰে: ঘনৰ যোগফল = (সংখ্যাৰ যোগফল)²।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

দিয়া ঘনৰ যোগফল = 2025।
সংখ্যাৰ যোগফল = √(ঘনৰ যোগফল) = √2025।
গণনা কৰক: 45 x 45 = 2025। গতিকে, সংখ্যাৰ যোগফল 45।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/গণনা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	ঘনৰ যোগফল = 2025	-
2	সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ	সংখ্যাৰ যোগফল = √(ঘনৰ যোগফল)	45

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 2025: এইটো ঘনৰ যোগফল।
C) 9: এইটো 'n' ৰ মান (যিহেতু 9x10/2 = 45)।
D) 90: এইটো যোগফলৰ 2 গুণ (2 x 45)।
E) 10: এইটো n+1।

StudyBix.com-Q30: Find the sum of the first 25 natural numbers.

A
325
B
625
C
300
D
350
E
275

StudyBix.com-Q30: पहली 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
325
B
625
C
300
D
350
E
275

StudyBix.com-Q30: প্ৰথম 25টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
325
B
625
C
300
D
350
E
275

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Correct Answer Explanation: To find the sum of the first 'n' natural numbers, we apply the formula: Sum = n(n+1)/2. In this case, 'n' is 25.

Step-by-step Calculation:

Identify n: n = 25.
Apply formula: Sum = 25 x (25 + 1) / 2 = 25 x 26 / 2.
Calculate: Sum = 25 x 13 = 325.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	25	The number of natural numbers to sum.
Formula	n(n+1)/2	Formula for the sum of first n natural numbers.
Calculation	25 x 26 / 2	Substituting the value of n.
Result	325	The final sum.

Why other options are incorrect:

B) 625: This is 25², the sum of the first 25 *odd* numbers.
C) 300: This is the sum of the first 24 natural numbers.
D) 350: This is a calculation error, perhaps 25 x 14.
E) 275: This is another calculation error, perhaps 25 x 11.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं: योग = n(n+1)/2। इस मामले में, 'n' 25 है।

चरण-दर-चरण गणना:

n पहचानें: n = 25।
सूत्र लागू करें: योग = 25 x (25 + 1) / 2 = 25 x 26 / 2।
गणना करें: योग = 25 x 13 = 325।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	25	जोड़ी जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	25 x 26 / 2	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	325	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 625: यह 25² है, पहली 25 *विषम* संख्याओं का योग।
C) 300: यह पहली 24 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
D) 350: यह एक गणना त्रुटि है, शायद 25 x 14।
E) 275: यह एक और गणना त्रुटि है, शायद 25 x 11।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি সূত্ৰটো প্ৰয়োগ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)/2। এই ক্ষেত্ৰত, 'n' হৈছে 25।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

n চিনাক্ত কৰক: n = 25।
সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 25 x (25 + 1) / 2 = 25 x 26 / 2।
গণনা কৰক: যোগফল = 25 x 13 = 325।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	25	যোগ কৰিবলগীয়া স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	25 x 26 / 2	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	325	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 625: এইটো 25², প্ৰথম 25টা *অযুগ্ম* সংখ্যাৰ যোগফল।
C) 300: এইটো প্ৰথম 24টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 350: এইটো 25 x 14 ৰ দৰে এটা গণনা ত্ৰুটি হ'ব পাৰে।
E) 275: এইটো 25 x 11 ৰ দৰে এটা বেলেগ গণনা ত্ৰুটিৰ ফলত হ'ব পাৰে।

StudyBix.com-Q31: The sum of the first 'n' natural numbers is 528. Find 'n'.

A
30
B
31
C
32
D
33
E
34

StudyBix.com-Q31: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 528 है। 'n' ज्ञात करें।

A
30
B
31
C
32
D
33
E
34

StudyBix.com-Q31: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 528। 'n' উলিওৱা।

A
30
B
31
C
32
D
33
E
34

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Correct Answer Explanation: We use the formula n(n+1)/2 = 528 and solve for 'n'.

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: n(n+1)/2 = 528.
Multiply by 2: n(n+1) = 1056.
Test Option C (n=32): 32 x (32+1) = 32 x 33 = 1056. This is correct.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum = 528
2	Simplify Equation	n(n+1) = 1056
3	Test Option C (n=32)	32 x 33 = 1056
4	Conclusion	The value of n is 32.

Why other options are incorrect:

A) 30: Sum = 465.
B) 31: Sum = 496.
D) 33: Sum = 561.
E) 34: Sum = 595.

सही उत्तर की व्याख्या: हम 'n' ज्ञात करने के लिए सूत्र n(n+1)/2 = 528 का उपयोग करते हैं।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: n(n+1)/2 = 528।
2 से गुणा करें: n(n+1) = 1056।
विकल्प C (n=32) का परीक्षण करें: 32 x (32+1) = 32 x 33 = 1056। यह सही है।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	योग = 528
2	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 1056
3	विकल्प C (n=32) का परीक्षण करें	32 x 33 = 1056
4	निष्कर्ष	n का मान 32 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 30: योग = 465।
B) 31: योग = 496।
D) 33: योग = 561।
E) 34: योग = 595।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি n(n+1)/2 = 528 সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰি 'n' ৰ বাবে সমাধান কৰিম।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: n(n+1)/2 = 528।
2 ৰে পূৰণ কৰক: n(n+1) = 1056।
বিকল্প C (n=32) পৰীক্ষা কৰক: 32 x (32+1) = 32 x 33 = 1056। এইটো শুদ্ধ।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	যোগফল = 528
2	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 1056
3	বিকল্প C (n=32) পৰীক্ষা	32 x 33 = 1056
4	সিদ্ধান্ত	n ৰ মান 32।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 30: যোগফল = 465।
B) 31: যোগফল = 496।
D) 33: যোগফল = 561।
E) 34: যোগফল = 595।

StudyBix.com-Q32: What is the sum of the cubes of natural numbers from 1 to 7?

A
784
B
28
C
140
D
343
E
800

StudyBix.com-Q32: 1 से 7 तक की प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
784
B
28
C
140
D
343
E
800

StudyBix.com-Q32: 1 ৰ পৰা 7 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
784
B
28
C
140
D
343
E
800

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Correct Answer Explanation: The formula is Sum = [n(n+1)/2]². Here, n = 7.

Step-by-step Calculation:

First, calculate the sum of the first 7 numbers: 7 x 8 / 2 = 28.
Now, square this result: Sum of cubes = (28)² = 784.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	7	The number of terms.
Step 1: n(n+1)/2	28	Sum of the first 7 numbers.
Step 2: (Result)²	784	Sum of cubes.

Why other options are incorrect:

B) 28: This is the sum of the first 7 numbers, the intermediate step.
C) 140: This is the sum of the *squares* of the first 7 numbers.
D) 343: This is 7³, only the last term.
E) 800: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। यहाँ, n = 7 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सबसे पहले, पहली 7 संख्याओं का योग गणना करें: 7 x 8 / 2 = 28।
अब, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = (28)² = 784।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	7	पदों की संख्या।
चरण 1: n(n+1)/2	28	पहली 7 संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	784	घनों का योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 28: यह पहली 7 संख्याओं का योग है, मध्यवर्ती चरण।
C) 140: यह पहली 7 संख्याओं के *वर्गों* का योग है।
D) 343: यह 7³ है, केवल अंतिम पद।
E) 800: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। ইয়াত, n = 7।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথমে, প্ৰথম 7টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: 7 x 8 / 2 = 28।
এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (28)² = 784।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	7	পদৰ সংখ্যা।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	28	প্ৰথম 7টা সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	784	ঘনৰ যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 28: এইটো প্ৰথম 7টা সংখ্যাৰ যোগফল, মধ্যৱৰ্তী স্তৰ।
C) 140: এইটো প্ৰথম 7টা সংখ্যাৰ *বৰ্গ*ৰ যোগফল।
D) 343: এইটো 7³, কেৱল শেষৰ পদটো।
E) 800: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q33: Find the sum of the series 1² + 2² + 3² + ... + 30².

A
9455
B
465
C
900
D
216225
E
9500

StudyBix.com-Q33: श्रृंखला 1² + 2² + 3² + ... + 30² का योग ज्ञात करें।

A
9455
B
465
C
900
D
216225
E
9500

StudyBix.com-Q33: 1² + 2² + 3² + ... + 30² শৃংখলাটোৰ যোগফল উলিওৱা।

A
9455
B
465
C
900
D
216225
E
9500

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Correct Answer Explanation: The formula for the sum of squares is Sum = n(n+1)(2n+1)/6, with n=30.

Step-by-step Calculation:

Apply formula: Sum = 30 x (30 + 1) x (2 x 30 + 1) / 6.
Simplify: Sum = 30 x 31 x 61 / 6.
Calculate: Sum = 5 x 31 x 61 = 9455.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	30	The number of terms.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for sum of squares.
Calculation	(30 x 31 x 61) / 6	Substituting the value of n.
Result	9455	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

B) 465: This is the sum of the first 30 *natural numbers*.
C) 900: This is 30², only the last term.
D) 216225: This is the sum of the *cubes* (465²).
E) 9500: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: वर्गों के योग का सूत्र है: योग = n(n+1)(2n+1)/6, जिसमें n=30 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सूत्र लागू करें: योग = 30 x (30 + 1) x (2 x 30 + 1) / 6।
सरल करें: योग = 30 x 31 x 61 / 6।
गणना करें: योग = 5 x 31 x 61 = 9455।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	30	पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	(30 x 31 x 61) / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	9455	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 465: यह पहली 30 *प्राकृतिक संख्याओं* का योग है।
C) 900: यह 30² है, केवल अंतिम पद।
D) 216225: यह *घनों* का योग है (465²)।
E) 9500: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6, য'ত n=30।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 30 x (30 + 1) x (2 x 30 + 1) / 6।
সৰল কৰক: যোগফল = 30 x 31 x 61 / 6।
গণনা কৰক: যোগফল = 5 x 31 x 61 = 9455।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	30	পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	(30 x 31 x 61) / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	9455	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 465: এইটো প্ৰথম 30টা *স্বাভাৱিক সংখ্যা*ৰ যোগফল।
C) 900: এইটো 30², কেৱল শেষৰ পদটো।
D) 216225: এইটো *ঘন*ৰ যোগফল (465²)।
E) 9500: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q34: What is the sum of natural numbers from 51 to 100?

A
5050
B
1275
C
3775
D
3725
E
3825

StudyBix.com-Q34: 51 से 100 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
5050
B
1275
C
3775
D
3725
E
3825

StudyBix.com-Q34: 51 ৰ পৰা 100 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ যোগফল কিমান?

A
5050
B
1275
C
3775
D
3725
E
3825

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Correct Answer Explanation: We need to calculate (Sum of first 100 numbers) - (Sum of first 50 numbers).

Step-by-step Calculation:

Sum of first 100 (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050.
Sum of first 50 (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275.
Subtract: 5050 - 1275 = 3775.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of first 100 (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
2	Sum of first 50 (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
3	Final Sum	S₁₀₀ - S₅₀	3775

Why other options are incorrect:

A) 5050: This is the sum from 1 to 100.
B) 1275: This is the sum from 1 to 50, the part to be subtracted.
D) 3725: This is a subtraction error.
E) 3825: This is another calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें (पहली 100 संख्याओं का योग) - (पहली 50 संख्याओं का योग) की गणना करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 100 का योग (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050।
पहली 50 का योग (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275।
घटाएं: 5050 - 1275 = 3775।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 100 का योग (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
2	पहली 50 का योग (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
3	अंतिम योग	S₁₀₀ - S₅₀	3775

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 5050: यह 1 से 100 तक का योग है।
B) 1275: यह 1 से 50 तक का योग है, जिसे घटाया जाना है।
D) 3725: यह एक घटाव त्रुटि है।
E) 3825: यह एक और गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি (প্ৰথম 100 টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 50 টা সংখ্যাৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 100 ৰ যোগফল (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050।
প্ৰথম 50 ৰ যোগফল (S₅₀): 50 x 51 / 2 = 1275।
বিয়োগ কৰক: 5050 - 1275 = 3775।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 100 ৰ যোগফল (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
2	প্ৰথম 50 ৰ যোগফল (S₅₀)	n(n+1)/2	1275
3	অন্তিম যোগফল	S₁₀₀ - S₅₀	3775

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 5050: এইটো 1 ৰ পৰা 100 লৈকে যোগফল।
B) 1275: এইটো 1 ৰ পৰা 50 লৈকে যোগফল, যিটো অংশ বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 3725: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।
E) 3825: এইটো আন এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q35: What is the sum of the cubes of the first 11 natural numbers?

A
4356
B
66
C
506
D
1331
E
4236

StudyBix.com-Q35: पहली 11 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
4356
B
66
C
506
D
1331
E
4236

StudyBix.com-Q35: প্ৰথম 11টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
4356
B
66
C
506
D
1331
E
4236

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Correct Answer Explanation: The formula is Sum = [n(n+1)/2]². Here, n = 11.

Step-by-step Calculation:

First, find the sum of the first 11 numbers: 11 x 12 / 2 = 66.
Now, square this result: Sum of cubes = (66)² = 4356.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	11	The number of terms.
Step 1: n(n+1)/2	66	Sum of the first 11 numbers.
Step 2: (Result)²	4356	Final sum of cubes.

Why other options are incorrect:

B) 66: This is the sum of the first 11 numbers, not their cubes.
C) 506: This is the sum of the squares of the first 11 numbers.
D) 1331: This is 11³, only the last term.
E) 4236: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। यहाँ, n = 11 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सबसे पहले, पहली 11 संख्याओं का योग ज्ञात करें: 11 x 12 / 2 = 66।
अब, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = (66)² = 4356।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	11	पदों की संख्या।
चरण 1: n(n+1)/2	66	पहली 11 संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	4356	घनों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 66: यह पहली 11 संख्याओं का योग है, उनके घनों का नहीं।
C) 506: यह पहली 11 संख्याओं के वर्गों का योग है।
D) 1331: यह 11³ है, केवल अंतिम पद।
E) 4236: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। ইয়াত, n = 11।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথমে, প্ৰথম 11টা সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা: 11 x 12 / 2 = 66।
এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (66)² = 4356।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	11	পদৰ সংখ্যা।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	66	প্ৰথম 11টা সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	4356	ঘনৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 66: এইটো প্ৰথম 11টা সংখ্যাৰ যোগফল, সিহঁতৰ ঘনৰ নহয়।
C) 506: এইটো প্ৰথম 11টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল।
D) 1331: এইটো 11³, কেৱল শেষৰ পদটো।
E) 4236: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q36: The sum of the squares of the first 'n' natural numbers is 1240. What is the value of 'n'?

A
16
B
14
C
120
D
15
E
13

StudyBix.com-Q36: पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 1240 है। 'n' का मान क्या है?

A
16
B
14
C
120
D
15
E
13

StudyBix.com-Q36: প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 1240। 'n' ৰ মান কিমান?

A
16
B
14
C
120
D
15
E
13

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: We need to find 'n' such that n(n+1)(2n+1)/6 = 1240. The simplest approach is to test the options.

Step-by-step Calculation (by testing options):

Equation: n(n+1)(2n+1) = 1240 x 6 = 7440.
Test Option D (n=15): 15 x (15+1) x (2x15+1) = 15 x 16 x 31 = 7440.
This matches the required value. Therefore, n = 15.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Test	Result
1	Given Information	Sum of Squares = 1240	-
2	Formula	n(n+1)(2n+1) = 7440	-
3	Test n=15	15 x 16 x 31	7440 (Correct)

Why other options are incorrect:

A) 16: For n=16, the sum is 1496.
B) 14: For n=14, the sum is 1015.
C) 120: This is the sum of the first 15 numbers, not the value of 'n'.
E) 13: For n=13, the sum is 819.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें 'n' ज्ञात करना है ताकि n(n+1)(2n+1)/6 = 1240 हो। सबसे सरल तरीका विकल्पों का परीक्षण करना है।

चरण-दर-चरण गणना (विकल्पों का परीक्षण करके):

समीकरण: n(n+1)(2n+1) = 1240 x 6 = 7440।
विकल्प D (n=15) का परीक्षण करें: 15 x (15+1) x (2x15+1) = 15 x 16 x 31 = 7440।
यह आवश्यक मान से मेल खाता है। इसलिए, n = 15।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परीक्षण	परिणाम
1	दी गई जानकारी	वर्गों का योग = 1240	-
2	सूत्र	n(n+1)(2n+1) = 7440	-
3	n=15 का परीक्षण करें	15 x 16 x 31	7440 (सही)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 16: n=16 के लिए, योग 1496 है।
B) 14: n=14 के लिए, योग 1015 है।
C) 120: यह पहली 15 संख्याओं का योग है, 'n' का मान नहीं।
E) 13: n=13 के लिए, योग 819 है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি n(n+1)(2n+1)/6 = 1240 হোৱাকৈ 'n' উলিয়াব লাগিব। আটাইতকৈ সৰল উপায় হ'ল বিকল্পবোৰ পৰীক্ষা কৰা।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা (বিকল্প পৰীক্ষা কৰি):

সমীকৰণ: n(n+1)(2n+1) = 1240 x 6 = 7440।
বিকল্প D (n=15) পৰীক্ষা কৰক: 15 x (15+1) x (2x15+1) = 15 x 16 x 31 = 7440।
এইটো প্ৰয়োজনীয় মানৰ সৈতে মিলে। গতিকে, n = 15।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/পৰীক্ষা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	বৰ্গৰ যোগফল = 1240	-
2	সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1) = 7440	-
3	n=15 পৰীক্ষা	15 x 16 x 31	7440 (সঠিক)

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 16: n=16 ৰ বাবে, যোগফল 1496।
B) 14: n=14 ৰ বাবে, যোগফল 1015।
C) 120: এইটো প্ৰথম 15টা সংখ্যাৰ যোগফল, 'n' ৰ মান নহয়।
E) 13: n=13 ৰ বাবে, যোগফল 819।

StudyBix.com-Q37: If the sum of the cubes of the first 'n' natural numbers is 784, what is the value of 'n'?

A
8
B
28
C
6
D
7
E
784

StudyBix.com-Q37: यदि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग 784 है, तो 'n' का मान क्या है?

A
8
B
28
C
6
D
7
E
784

StudyBix.com-Q37: যদি প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল 784 হয়, তেন্তে 'n' ৰ মান কিমান?

A
8
B
28
C
6
D
7
E
784

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Correct Answer Explanation: The formula is Sum of Cubes = [n(n+1)/2]². We need to work backward.

Step-by-step Calculation:

[n(n+1)/2]² = 784.
Take the square root: n(n+1)/2 = √784 = 28.
Multiply by 2: n(n+1) = 56.
By inspection, 7 x 8 = 56. Therefore, n = 7.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum of Cubes = 784
2	Take Square Root	n(n+1)/2 = 28
3	Simplify Equation	n(n+1) = 56
4	Solve for n	n = 7

Why other options are incorrect:

A) 8: This is (n+1). If n=8, the product n(n+1) is 72.
B) 28: This is the value of the sum of the numbers, not 'n'.
C) 6: If n=6, the sum of cubes is 441.
E) 784: This is the sum of the cubes itself.

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: घनों का योग = [n(n+1)/2]²। हमें पीछे की ओर काम करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

[n(n+1)/2]² = 784।
वर्गमूल लें: n(n+1)/2 = √784 = 28।
2 से गुणा करें: n(n+1) = 56।
निरीक्षण से, 7 x 8 = 56। इसलिए, n = 7।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	घनों का योग = 784
2	वर्गमूल लें	n(n+1)/2 = 28
3	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 56
4	n के लिए हल करें	n = 7

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 8: यह (n+1) है। यदि n=8, तो गुणनफल n(n+1) 72 होगा।
B) 28: यह संख्याओं के योग का मान है, 'n' नहीं।
C) 6: यदि n=6, तो घनों का योग 441 होगा।
E) 784: यह घनों का योग है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: ঘনৰ যোগফল = [n(n+1)/2]²। আমি ওলোটাকৈ কাম কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

[n(n+1)/2]² = 784।
বৰ্গমূল লওক: n(n+1)/2 = √784 = 28।
2 ৰে পূৰণ কৰক: n(n+1) = 56।
পৰীক্ষা কৰি, 7 x 8 = 56। গতিকে, n = 7।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	ঘনৰ যোগফল = 784
2	বৰ্গমূল লোৱা	n(n+1)/2 = 28
3	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 56
4	n ৰ বাবে সমাধান	n = 7

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 8: এইটো (n+1)। যদি n=8, পূৰণফল n(n+1) 72 হ'ব।
B) 28: এইটো সংখ্যাৰ যোগফলৰ মান, 'n' নহয়।
C) 6: যদি n=6, ঘনৰ যোগফল 441 হ'ব।
E) 784: এইটো ঘনৰ যোগফল।

StudyBix.com-Q38: Calculate the sum of squares of natural numbers from 21 to 30.

A
9455
B
6585
C
2870
D
6855
E
6215

StudyBix.com-Q38: 21 से 30 तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग गणना करें।

A
9455
B
6585
C
2870
D
6855
E
6215

StudyBix.com-Q38: 21 ৰ পৰা 30 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰক।

A
9455
B
6585
C
2870
D
6855
E
6215

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Correct Answer Explanation: We need to calculate (Sum of squares up to 30) - (Sum of squares up to 20).

Step-by-step Calculation:

Sum of squares up to 30 (S₃₀²): 30 x 31 x 61 / 6 = 9455.
Sum of squares up to 20 (S₂₀²): 20 x 21 x 41 / 6 = 2870.
Subtract: 9455 - 2870 = 6585.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of squares of first 30 (S₃₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	9455
2	Sum of squares of first 20 (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
3	Final Sum	S₃₀² - S₂₀²	6585

Why other options are incorrect:

A) 9455: This is the sum of squares from 1 to 30.
C) 2870: This is the sum of squares from 1 to 20, the value to be subtracted.
D) 6855: This is a subtraction error.
E) 6215: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें (30 तक के वर्गों का योग) - (20 तक के वर्गों का योग) की गणना करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

30 तक के वर्गों का योग (S₃₀²): 30 x 31 x 61 / 6 = 9455।
20 तक के वर्गों का योग (S₂₀²): 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
घटाएं: 9455 - 2870 = 6585।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 30 के वर्गों का योग (S₃₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	9455
2	पहली 20 के वर्गों का योग (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
3	अंतिम योग	S₃₀² - S₂₀²	6585

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 9455: यह 1 से 30 तक के वर्गों का योग है।
C) 2870: यह 1 से 20 तक के वर्गों का योग है, जिसे घटाया जाना है।
D) 6855: यह एक घटाव त्रुटि है।
E) 6215: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি (30 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল) - (20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

30 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল (S₃₀²): 30 x 31 x 61 / 6 = 9455।
20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল (S₂₀²): 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
বিয়োগ কৰক: 9455 - 2870 = 6585।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 30 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₃₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	9455
2	প্ৰথম 20 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
3	অন্তিম যোগফল	S₃₀² - S₂₀²	6585

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 9455: এইটো 1 ৰ পৰা 30 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল।
C) 2870: এইটো 1 ৰ পৰা 20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল, যিটো মান বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 6855: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।
E) 6215: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q39: What is the sum of the cubes of natural numbers from 6 to 12?

A
6084
B
225
C
6309
D
5859
E
5959

StudyBix.com-Q39: 6 से 12 तक की प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
6084
B
225
C
6309
D
5859
E
5959

StudyBix.com-Q39: 6 ৰ পৰা 12 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
6084
B
225
C
6309
D
5859
E
5959

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Correct Answer Explanation: We need to calculate (Sum of cubes of first 12 numbers) - (Sum of cubes of first 5 numbers).

Step-by-step Calculation:

Sum of cubes of first 12 (S₁₂³): (12 x 13 / 2)² = 78² = 6084.
Sum of cubes of first 5 (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225.
Subtract: 6084 - 225 = 5859.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of cubes of first 12 (S₁₂³)	[n(n+1)/2]²	6084
2	Sum of cubes of first 5 (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
3	Final Sum	S₁₂³ - S₅³	5859

Why other options are incorrect:

A) 6084: This is the sum of cubes from 1 to 12.
B) 225: This is the sum of cubes from 1 to 5.
C) 6309: This is the sum of the two parts (6084 + 225).
E) 5959: This is a subtraction error.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें (पहली 12 संख्याओं के घनों का योग) - (पहली 5 संख्याओं के घनों का योग) की गणना करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 12 के घनों का योग (S₁₂³): (12 x 13 / 2)² = 78² = 6084।
पहली 5 के घनों का योग (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225।
घटाएं: 6084 - 225 = 5859।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 12 के घनों का योग (S₁₂³)	[n(n+1)/2]²	6084
2	पहली 5 के घनों का योग (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
3	अंतिम योग	S₁₂³ - S₅³	5859

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 6084: यह 1 से 12 तक के घनों का योग है।
B) 225: यह 1 से 5 तक के घनों का योग है।
C) 6309: यह दोनों भागों का योग (6084 + 225) है।
E) 5959: यह एक घटाव त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি (প্ৰথম 12 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল) - (প্ৰথম 5 টা সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল) গণনা কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 12 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₁₂³): (12 x 13 / 2)² = 78² = 6084।
প্ৰথম 5 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225।
বিয়োগ কৰক: 6084 - 225 = 5859।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 12 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₁₂³)	[n(n+1)/2]²	6084
2	প্ৰথম 5 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
3	অন্তিম যোগফল	S₁₂³ - S₅³	5859

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 6084: এইটো 1 ৰ পৰা 12 লৈকে ঘনৰ যোগফল।
B) 225: এইটো 1 ৰ পৰা 5 লৈকে ঘনৰ যোগফল।
C) 6309: এইটো দুয়োটা অংশৰ যোগফল (6084 + 225)।
E) 5959: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q40: Find the sum of the first 60 natural numbers.

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

StudyBix.com-Q40: पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें।

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

StudyBix.com-Q40: প্ৰথম 60টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

A
1800
B
1830
C
3600
D
1770
E
1860

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Correct Answer Explanation: We use the formula: Sum = n(n+1)/2. Here, n = 60.

Step-by-step Calculation:

Apply formula: Sum = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2.
Calculate: Sum = 30 x 61 = 1830.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	60	The number of terms.
Formula	n(n+1)/2	Formula for sum of natural numbers.
Calculation	30 x 61	Simplified calculation.
Result	1830	The final sum.

Why other options are incorrect:

A) 1800: Might be a result of calculating 60 x 60 / 2.
C) 3600: This is 60², the sum of the first 60 odd numbers.
D) 1770: This is the sum of the first 59 numbers.
E) 1860: This is a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: हम सूत्र का उपयोग करते हैं: योग = n(n+1)/2। यहाँ, n = 60 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सूत्र लागू करें: योग = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2।
गणना करें: योग = 30 x 61 = 1830।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	60	पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)/2	प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र।
गणना	30 x 61	सरल गणना।
परिणाम	1830	अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 1800: यह 60 x 60 / 2 की गणना का परिणाम हो सकता है।
C) 3600: यह 60² है, पहली 60 विषम संख्याओं का योग।
D) 1770: यह पहली 59 संख्याओं का योग है।
E) 1860: यह एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ: যোগফল = n(n+1)/2। ইয়াত, n = 60।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 60 x (60 + 1) / 2 = 60 x 61 / 2।
গণনা কৰক: যোগফল = 30 x 61 = 1830।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	60	পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)/2	স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	30 x 61	সৰলীকৃত গণনা।
ফলাফল	1830	অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 1800: এইটো 60 x 60 / 2 গণনাৰ ফলত হ'ব পাৰে।
C) 3600: এইটো 60², প্ৰথম 60টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 1770: এইটো প্ৰথম 59টা সংখ্যাৰ যোগফল।
E) 1860: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q41: What is the difference between the sum of the cubes and the sum of the squares of the first 5 natural numbers?

A
225
B
55
C
170
D
15
E
180

StudyBix.com-Q41: पहली 5 प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग और वर्गों के योग के बीच क्या अंतर है?

A
225
B
55
C
170
D
15
E
180

StudyBix.com-Q41: প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল আৰু বৰ্গৰ যোগফলৰ মাজৰ পাৰ্থক্য কিমান?

A
225
B
55
C
170
D
15
E
180

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: We need to find (Sum of cubes for n=5) - (Sum of squares for n=5).

Step-by-step Calculation:

Sum of cubes (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225.
Sum of squares (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55.
Difference: 225 - 55 = 170.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula Used	Result
1	Sum of cubes of first 5 (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
2	Sum of squares of first 5 (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	Difference	S₅³ - S₅²	170

Why other options are incorrect:

A) 225: This is the sum of the cubes, not the difference.
B) 55: This is the sum of the squares, not the difference.
D) 15: This is the sum of the first 5 natural numbers.
E) 180: This is a subtraction error.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें (n=5 के लिए घनों का योग) - (n=5 के लिए वर्गों का योग) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

घनों का योग (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225।
वर्गों का योग (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55।
अंतर: 225 - 55 = 170।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	प्रयुक्त सूत्र	परिणाम
1	पहली 5 के घनों का योग (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
2	पहली 5 के वर्गों का योग (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	अंतर	S₅³ - S₅²	170

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 225: यह घनों का योग है, अंतर नहीं।
B) 55: यह वर्गों का योग है, अंतर नहीं।
D) 15: यह पहली 5 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
E) 180: यह एक घटाव त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি (n=5 ৰ বাবে ঘনৰ যোগফল) - (n=5 ৰ বাবে বৰ্গৰ যোগফল) উলিওৱা প্ৰয়োজন।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

ঘনৰ যোগফল (S₅³): (5 x 6 / 2)² = 15² = 225।
বৰ্গৰ যোগফল (S₅²): 5 x 6 x 11 / 6 = 55।
পাৰ্থক্য: 225 - 55 = 170।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	ব্যৱহৃত সূত্ৰ	ফলাফল
1	প্ৰথম 5 ৰ ঘনৰ যোগফল (S₅³)	[n(n+1)/2]²	225
2	প্ৰথম 5 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	55
3	পাৰ্থক্য	S₅³ - S₅²	170

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 225: এইটো ঘনৰ যোগফল, পাৰ্থক্য নহয়।
B) 55: এইটো বৰ্গৰ যোগফল, পাৰ্থক্য নহয়।
D) 15: এইটো প্ৰথম 5টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
E) 180: এইটো এটা বিয়োগৰ ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q42: Find the sum of the squares of the first 25 natural numbers.

A
5525
B
625
C
325
D
5225
E
5425

StudyBix.com-Q42: पहली 25 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करें।

A
5525
B
625
C
325
D
5225
E
5425

StudyBix.com-Q42: প্ৰথম 25টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল উলিওৱা।

A
5525
B
625
C
325
D
5225
E
5425

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Correct Answer Explanation: We will use the formula: Sum = n(n+1)(2n+1)/6, where n = 25.

Step-by-step Calculation:

Apply formula: Sum = 25 x (25 + 1) x (2 x 25 + 1) / 6 = 25 x 26 x 51 / 6.
Simplify: Sum = 25 x 13 x 17 = 5525.

Calculation Summary Chart:

Variable	Value	Description
n	25	The number of terms.
Formula	n(n+1)(2n+1)/6	Formula for sum of squares.
Calculation	(25 x 26 x 51) / 6	Substituting the value of n.
Result	5525	The final sum of squares.

Why other options are incorrect:

B) 625: This is 25².
C) 325: This is the sum of the first 25 natural numbers.
D) 5225: This is a calculation error.
E) 5425: This is also a calculation error.

सही उत्तर की व्याख्या: हम सूत्र का उपयोग करेंगे: योग = n(n+1)(2n+1)/6, जहाँ n = 25 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सूत्र लागू करें: योग = 25 x (25 + 1) x (2 x 25 + 1) / 6 = 25 x 26 x 51 / 6।
सरल करें: योग = 25 x 13 x 17 = 5525।

गणना सारांश तालिका:

चर	मान	विवरण
n	25	पदों की संख्या।
सूत्र	n(n+1)(2n+1)/6	वर्गों के योग का सूत्र।
गणना	(25 x 26 x 51) / 6	n का मान प्रतिस्थापित करना।
परिणाम	5525	वर्गों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 625: यह 25² है।
C) 325: यह पहली 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
D) 5225: यह एक गणना त्रुटि है।
E) 5425: यह भी एक गणना त्रुटि है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰিম: যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6, য'ত n = 25।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰক: যোগফল = 25 x (25 + 1) x (2 x 25 + 1) / 6 = 25 x 26 x 51 / 6।
সৰল কৰক: যোগফল = 25 x 13 x 17 = 5525।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক	মান	বিৱৰণ
n	25	পদৰ সংখ্যা।
সূত্ৰ	n(n+1)(2n+1)/6	বৰ্গৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।
গণনা	(25 x 26 x 51) / 6	n-ৰ মান বহুৱাই।
ফলাফল	5525	বৰ্গৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 625: এইটো 25²।
C) 325: এইটো প্ৰথম 25টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 5225: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি।
E) 5425: এইটোও এটা গণনা ত্ৰুটি।

StudyBix.com-Q43: What is the sum of the cubes of the first 6 natural numbers?

A
216
B
21
C
91
D
441
E
36

StudyBix.com-Q43: पहली 6 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या है?

A
216
B
21
C
91
D
441
E
36

StudyBix.com-Q43: প্ৰথম 6টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল কিমান?

A
216
B
21
C
91
D
441
E
36

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Correct Answer Explanation: The formula is Sum = [n(n+1)/2]². Here, n = 6.

Step-by-step Calculation:

First, calculate the sum of the first 6 numbers: 6 x 7 / 2 = 21.
Next, square this result: Sum of cubes = (21)² = 441.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	6	The number of terms.
Step 1: n(n+1)/2	21	Sum of the first 6 numbers.
Step 2: (Result)²	441	Final sum of cubes.

Why other options are incorrect:

A) 216: This is 6³, only the last term.
B) 21: This is the sum of the first 6 numbers, the intermediate value.
C) 91: This is the sum of the squares of the first 6 numbers.
E) 36: This is 6².

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। यहाँ, n = 6 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सबसे पहले, पहली 6 संख्याओं का योग गणना करें: 6 x 7 / 2 = 21।
इसके बाद, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = (21)² = 441।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	6	पदों की संख्या।
चरण 1: n(n+1)/2	21	पहली 6 संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	441	घनों का अंतिम योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 216: यह 6³ है, केवल अंतिम पद।
B) 21: यह पहली 6 संख्याओं का योग है, मध्यवर्ती मान।
C) 91: यह पहली 6 संख्याओं के वर्गों का योग है।
E) 36: यह 6² है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। ইয়াত, n = 6।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথমে, প্ৰথম 6টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: 6 x 7 / 2 = 21।
ইয়াৰ পিছত, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (21)² = 441।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	6	পদৰ সংখ্যা।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	21	প্ৰথম 6টা সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	441	ঘনৰ অন্তিম যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 216: এইটো 6³, কেৱল শেষৰ পদটো।
B) 21: এইটো প্ৰথম 6টা সংখ্যাৰ যোগফল, মধ্যৱৰ্তী মান।
C) 91: এইটো প্ৰথম 6টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল।
E) 36: এইটো 6²।

StudyBix.com-Q44: If the sum of the first 'n' natural numbers is 1035, find the value of 'n'.

A
44
B
45
C
46
D
43
E
47

StudyBix.com-Q44: यदि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं का योग 1035 है, तो 'n' का मान ज्ञात करें।

A
44
B
45
C
46
D
43
E
47

StudyBix.com-Q44: যদি প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 1035 হয়, তেন্তে 'n' ৰ মান উলিওৱা।

A
44
B
45
C
46
D
43
E
47

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Correct Answer Explanation: We need to find 'n' such that n(n+1)/2 = 1035.

Step-by-step Calculation:

Equation: n(n+1) = 1035 x 2 = 2070.
We need two consecutive numbers whose product is 2070. Since 40²=1600 and 50²=2500, 'n' is between 40 and 50.
Test Option B (n=45): 45 x 46 = 2070. This is correct.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Result
1	Given Information	Sum = 1035
2	Simplify Equation	n(n+1) = 2070
3	Test Option B (n=45)	45 x 46 = 2070
4	Conclusion	n = 45

Why other options are incorrect:

A) 44: n(n+1) would be 44 x 45 = 1980.
C) 46: n(n+1) would be 46 x 47 = 2162.
D) 43: n(n+1) would be 43 x 44 = 1892.
E) 47: n(n+1) would be 47 x 48 = 2256.

सही उत्तर की व्याख्या: हमें 'n' ज्ञात करना है ताकि n(n+1)/2 = 1035 हो।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण: n(n+1) = 1035 x 2 = 2070।
हमें दो क्रमागत संख्याएँ खोजनी होंगी जिनका गुणनफल 2070 हो। चूंकि 40²=1600 और 50²=2500, 'n' 40 और 50 के बीच है।
विकल्प B (n=45) का परीक्षण करें: 45 x 46 = 2070। यह सही है।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/परिणाम
1	दी गई जानकारी	योग = 1035
2	समीकरण को सरल करें	n(n+1) = 2070
3	विकल्प B (n=45) का परीक्षण करें	45 x 46 = 2070
4	निष्कर्ष	n = 45

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 44: n(n+1) 44 x 45 = 1980 होगा।
C) 46: n(n+1) 46 x 47 = 2162 होगा।
D) 43: n(n+1) 43 x 44 = 1892 होगा।
E) 47: n(n+1) 47 x 48 = 2256 होगा।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি n(n+1)/2 = 1035 হোৱাকৈ 'n' উলিয়াব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণ: n(n+1) = 1035 x 2 = 2070।
আমি দুটা ক্ৰমিক সংখ্যা বিচাৰিব লাগিব যাৰ পূৰণফল 2070। যিহেতু 40²=1600 আৰু 50²=2500, 'n' 40 আৰু 50 ৰ মাজত আছে।
বিকল্প B (n=45) পৰীক্ষা কৰক: 45 x 46 = 2070। এইটো শুদ্ধ।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	যোগফল = 1035
2	সমীকৰণ সৰলীকৰণ	n(n+1) = 2070
3	বিকল্প B (n=45) পৰীক্ষা	45 x 46 = 2070
4	সিদ্ধান্ত	n = 45

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 44: n(n+1) 44 x 45 = 1980 হ'ব।
C) 46: n(n+1) 46 x 47 = 2162 হ'ব।
D) 43: n(n+1) 43 x 44 = 1892 হ'ব।
E) 47: n(n+1) 47 x 48 = 2256 হ'ব।

StudyBix.com-Q45: What is the sum of natural numbers from 101 to 200?

A
15050
B
20100
C
5050
D
15000
E
14950

StudyBix.com-Q45: 101 से 200 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

A
15050
B
20100
C
5050
D
15000
E
14950

StudyBix.com-Q45: 101 ৰ পৰা 200 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ যোগফল কিমান?

A
15050
B
20100
C
5050
D
15000
E
14950

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Correct Answer Explanation: We will calculate (Sum of first 200 numbers) - (Sum of first 100 numbers).

Step-by-step Calculation:

Sum of first 200 (S₂₀₀): 200 x 201 / 2 = 20100.
Sum of first 100 (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050.
Subtract: 20100 - 5050 = 15050.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of first 200 (S₂₀₀)	n(n+1)/2	20100
2	Sum of first 100 (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
3	Final Sum	S₂₀₀ - S₁₀₀	15050

Why other options are incorrect:

B) 20100: This is the sum from 1 to 200.
C) 5050: This is the sum from 1 to 100.
D) 15000: This is an incorrect approximation.
E) 14950: This could result from incorrectly subtracting the sum up to 101.

सही उत्तर की व्याख्या: हम (पहली 200 संख्याओं का योग) - (पहली 100 संख्याओं का योग) की गणना करेंगे।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 200 का योग (S₂₀₀): 200 x 201 / 2 = 20100।
पहली 100 का योग (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050।
घटाएं: 20100 - 5050 = 15050।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 200 का योग (S₂₀₀)	n(n+1)/2	20100
2	पहली 100 का योग (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
3	अंतिम योग	S₂₀₀ - S₁₀₀	15050

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 20100: यह 1 से 200 तक का योग है।
C) 5050: यह 1 से 100 तक का योग है।
D) 15000: यह एक गलत अनुमान है।
E) 14950: यह 101 तक के योग को गलत तरीके से घटाने का परिणाम हो सकता है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: আমি (প্ৰথম 200টা সংখ্যাৰ যোগফল) - (প্ৰথম 100টা সংখ্যাৰ যোগফল) গণনা কৰিম।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 200 ৰ যোগফল (S₂₀₀): 200 x 201 / 2 = 20100।
প্ৰথম 100 ৰ যোগফল (S₁₀₀): 100 x 101 / 2 = 5050।
বিয়োগ কৰক: 20100 - 5050 = 15050।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 200 ৰ যোগফল (S₂₀₀)	n(n+1)/2	20100
2	প্ৰথম 100 ৰ যোগফল (S₁₀₀)	n(n+1)/2	5050
3	অন্তিম যোগফল	S₂₀₀ - S₁₀₀	15050

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 20100: এইটো 1 ৰ পৰা 200 লৈকে যোগফল।
C) 5050: এইটো 1 ৰ পৰা 100 লৈকে যোগফল।
D) 15000: এইটো এটা অশুদ্ধ অনুমান।
E) 14950: এইটো 101 লৈকে যোগফল ভুলকৈ বিয়োগ কৰাৰ ফলত হ'ব পাৰে।

StudyBix.com-Q46: What is the sum of the series 1³ + 2³ + 3³ + ... + 9³?

A
2025
B
45
C
285
D
729
E
1980

StudyBix.com-Q46: श्रृंखला 1³ + 2³ + 3³ + ... + 9³ का योग क्या है?

A
2025
B
45
C
285
D
729
E
1980

StudyBix.com-Q46: 1³ + 2³ + 3³ + ... + 9³ শৃংখলাটোৰ যোগফল কিমান?

A
2025
B
45
C
285
D
729
E
1980

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Correct Answer Explanation: The formula is Sum = [n(n+1)/2]². For this problem, n = 9.

Step-by-step Calculation:

First, calculate the sum of the first 9 numbers: 9 x 10 / 2 = 45.
Now, square this result: Sum of cubes = (45)² = 2025.

Calculation Summary Chart:

Variable/Step	Value	Description
n	9	The number of terms.
Step 1: n(n+1)/2	45	Sum of the first 9 numbers.
Step 2: (Result)²	2025	Sum of cubes.

Why other options are incorrect:

B) 45: This is the sum of the first 9 numbers, the intermediate step.
C) 285: This is the sum of the squares of the first 9 numbers.
D) 729: This is 9³, only the last term.
E) 1980: This is a calculation error, such as 45 x 44.

सही उत्तर की व्याख्या: सूत्र है: योग = [n(n+1)/2]²। इस समस्या के लिए, n = 9 है।

चरण-दर-चरण गणना:

सबसे पहले, पहली 9 संख्याओं का योग गणना करें: 9 x 10 / 2 = 45।
अब, इस परिणाम का वर्ग करें: घनों का योग = (45)² = 2025।

गणना सारांश तालिका:

चर/चरण	मान	विवरण
n	9	पदों की संख्या।
चरण 1: n(n+1)/2	45	पहली 9 संख्याओं का योग।
चरण 2: (परिणाम)²	2025	घनों का योग।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 45: यह पहली 9 संख्याओं का योग है, मध्यवर्ती चरण।
C) 285: यह पहली 9 संख्याओं के वर्गों का योग है।
D) 729: यह 9³ है, केवल अंतिम पद।
E) 1980: यह एक गणना त्रुटि है, जैसे 45 x 44।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = [n(n+1)/2]²। এই প্ৰশ্নটোৰ বাবে, n = 9।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথমে, প্ৰথম 9টা সংখ্যাৰ যোগফল গণনা কৰক: 9 x 10 / 2 = 45।
এতিয়া, এই ফলাফলটোৰ বৰ্গ কৰক: ঘনৰ যোগফল = (45)² = 2025।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

চলক/স্তৰ	মান	বিৱৰণ
n	9	পদৰ সংখ্যা।
স্তৰ 1: n(n+1)/2	45	প্ৰথম 9টা সংখ্যাৰ যোগফল।
স্তৰ 2: (ফলাফল)²	2025	ঘনৰ যোগফল।

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 45: এইটো প্ৰথম 9টা সংখ্যাৰ যোগফল, মধ্যৱৰ্তী স্তৰ।
C) 285: এইটো প্ৰথম 9টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল।
D) 729: এইটো 9³, কেৱল শেষৰ পদটো।
E) 1980: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি, যেনে 45 x 44।

StudyBix.com-Q47: If the sum of the first 'n' odd natural numbers is 400, what is the value of 'n'?

A
10
B
40
C
20
D
25
E
15

StudyBix.com-Q47: यदि पहली 'n' विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग 400 है, तो 'n' का मान क्या है?

A
10
B
40
C
20
D
25
E
15

StudyBix.com-Q47: যদি প্ৰথম 'n' টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 400 হয়, তেন্তে 'n' ৰ মান কিমান?

A
10
B
40
C
20
D
25
E
15

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: The formula for the sum of the first 'n' odd natural numbers is Sum = n².

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: n² = 400.
Solve for n by taking the square root: n = √400 = 20.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Calculation	Result
1	Given Information	Sum of first n odd numbers = 400	-
2	Formula	n² = 400	-
3	Solve for n	n = √400	n = 20

Why other options are incorrect:

A) 10: If n=10, the sum would be 10² = 100.
B) 40: If n=40, the sum would be 40² = 1600.
D) 25: If n=25, the sum would be 25² = 625.
E) 15: If n=15, the sum would be 15² = 225.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' विषम प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है: योग = n²।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: n² = 400।
'n' के लिए हल करें, वर्गमूल लेकर: n = √400 = 20।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/गणना	परिणाम
1	दी गई जानकारी	पहली n विषम संख्याओं का योग = 400	-
2	सूत्र	n² = 400	-
3	n के लिए हल करें	n = √400	n = 20

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 10: यदि n=10, तो योग 10² = 100 होगा।
B) 40: यदि n=40, तो योग 40² = 1600 होगा।
D) 25: यदि n=25, तो योग 25² = 625 होगा।
E) 15: यदि n=15, तो योग 15² = 225 होगा।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n²।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: n² = 400।
'n' ৰ বাবে সমাধান কৰক, বৰ্গমূল লৈ: n = √400 = 20।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/গণনা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	প্ৰথম n টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল = 400	-
2	সূত্ৰ	n² = 400	-
3	n ৰ বাবে সমাধান	n = √400	n = 20

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 10: যদি n=10, যোগফল হ'ব 10² = 100।
B) 40: যদি n=40, যোগফল হ'ব 40² = 1600।
D) 25: যদি n=25, যোগফল হ'ব 25² = 625।
E) 15: যদি n=15, যোগফল হ'ব 15² = 225।

StudyBix.com-Q48: If the sum of the first 'n' even natural numbers is 240, what is the value of 'n'?

A
15
B
16
C
120
D
20
E
14

StudyBix.com-Q48: यदि पहली 'n' सम प्राकृतिक संख्याओं का योग 240 है, तो 'n' का मान क्या है?

A
15
B
16
C
120
D
20
E
14

StudyBix.com-Q48: যদি প্ৰথম 'n' টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 240 হয়, তেন্তে 'n' ৰ মান কিমান?

A
15
B
16
C
120
D
20
E
14

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: The formula for the sum of the first 'n' even numbers is Sum = n(n+1). We need to solve n(n+1) = 240.

Step-by-step Calculation:

Set up the equation: n(n+1) = 240.
We need two consecutive integers whose product is 240. By testing, we find 15 x 16 = 240.
Therefore, n = 15.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Equation/Calculation	Result
1	Given Information	Sum of first n even numbers = 240	-
2	Formula	n(n+1) = 240	-
3	Solve for n	Test n=15: 15x16	n = 15

Why other options are incorrect:

B) 16: This is (n+1). If n=16, the sum would be 16 x 17 = 272.
C) 120: This is the sum of the first 15 natural numbers.
D) 20: If n=20, the sum would be 20 x 21 = 420.
E) 14: If n=14, the sum would be 14 x 15 = 210.

सही उत्तर की व्याख्या: पहली 'n' सम संख्याओं के योग का सूत्र है: योग = n(n+1)। हमें n(n+1) = 240 को हल करने की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण गणना:

समीकरण स्थापित करें: n(n+1) = 240।
हमें दो क्रमागत पूर्णांक खोजने होंगे जिनका गुणनफल 240 हो। परीक्षण से, हम पाते हैं 15 x 16 = 240।
इसलिए, n = 15।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	समीकरण/गणना	परिणाम
1	दी गई जानकारी	पहली n सम संख्याओं का योग = 240	-
2	सूत्र	n(n+1) = 240	-
3	n के लिए हल करें	n=15 का परीक्षण करें: 15x16	n = 15

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 16: यह (n+1) है। यदि n=16, तो योग 16 x 17 = 272 होगा।
C) 120: यह पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
D) 20: यदि n=20, तो योग 20 x 21 = 420 होगा।
E) 14: यदि n=14, तो योग 14 x 15 = 210 होगा।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: প্ৰথম 'n' টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো হৈছে: যোগফল = n(n+1)। আমি n(n+1) = 240 সমীকৰণটো সমাধান কৰিব লাগিব।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

সমীকৰণটো গঠন কৰক: n(n+1) = 240।
আমি দুটা ক্ৰমিক পূৰ্ণ সংখ্যা বিচাৰিব লাগিব যাৰ পূৰণফল 240। পৰীক্ষা কৰি, আমি পাওঁ 15 x 16 = 240।
গতিকে, n = 15।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সমীকৰণ/গণনা	ফলাফল
1	দিয়া তথ্য	প্ৰথম n টা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল = 240	-
2	সূত্ৰ	n(n+1) = 240	-
3	n ৰ বাবে সমাধান	n=15 পৰীক্ষা কৰক: 15x16	n = 15

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 16: এইটো (n+1)। যদি n=16, যোগফল হ'ব 16 x 17 = 272।
C) 120: এইটো প্ৰথম 15টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল।
D) 20: যদি n=20, যোগফল হ'ব 20 x 21 = 420।
E) 14: যদি n=14, যোগফল হ'ব 14 x 15 = 210।

StudyBix.com-Q49: Find the sum of the squares of natural numbers from 16 to 20.

A
2870
B
1630
C
1240
D
1530
E
1730

StudyBix.com-Q49: 16 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करें।

A
2870
B
1630
C
1240
D
1530
E
1730

StudyBix.com-Q49: 16 ৰ পৰা 20 লৈকে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফল উলিওৱা।

A
2870
B
1630
C
1240
D
1530
E
1730

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Correct Answer Explanation: To find the sum of squares in the range from 16 to 20, we calculate the sum of squares of the first 20 numbers and subtract the sum of squares of the first 15 numbers (since the series starts at 16, we subtract the sum up to 15).

Step-by-step Calculation:

Calculate the sum of squares of the first 20 numbers (S₂₀²):
S₂₀² = 20 x 21 x 41 / 6 = 2870.
Calculate the sum of squares of the first 15 numbers (S₁₅²):
S₁₅² = 15 x 16 x 31 / 6 = 1240.
Subtract the second sum from the first:
Sum (16² to 20²) = S₂₀² - S₁₅² = 2870 - 1240 = 1630.

Calculation Summary Chart:

Step	Calculation	Formula/Method	Result
1	Sum of squares of first 20 (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	Sum of squares of first 15 (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
3	Final Sum	S₂₀² - S₁₅²	1630

Why other options are incorrect:

A) 2870: This is the sum of squares from 1 to 20. It fails to exclude the sum of squares from 1 to 15.
C) 1240: This is the sum of squares from 1 to 15, which is the value that needs to be subtracted.
D) 1530: This is a calculation error, possibly during the subtraction step (e.g., 2870 - 1340).
E) 1730: This is also a calculation error. The correct difference between 2870 and 1240 is exactly 1630.

सही उत्तर की व्याख्या: 16 से 20 की सीमा में वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहली 20 संख्याओं के वर्गों के योग की गणना करेंगे और उसमें से पहली 15 संख्याओं के वर्गों के योग को घटाएंगे (चूंकि श्रृंखला 16 से शुरू होती है, हम 15 तक का योग घटाते हैं)।

चरण-दर-चरण गणना:

पहली 20 संख्याओं के वर्गों का योग (S₂₀²) की गणना करें:
S₂₀² = 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
पहली 15 संख्याओं के वर्गों का योग (S₁₅²) की गणना करें:
S₁₅² = 15 x 16 x 31 / 6 = 1240।
पहले योग में से दूसरे को घटाएं:
योग (16² से 20²) = S₂₀² - S₁₅² = 2870 - 1240 = 1630।

गणना सारांश तालिका:

चरण	गणना	सूत्र/विधि	परिणाम
1	पहली 20 के वर्गों का योग (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	पहली 15 के वर्गों का योग (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
3	अंतिम योग	S₂₀² - S₁₅²	1630

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

A) 2870: यह 1 से 20 तक के वर्गों का योग है। यह 1 से 15 तक के वर्गों के योग को बाहर करने में विफल रहता है।
C) 1240: यह 1 से 15 तक के वर्गों का योग है, जो वह मान है जिसे घटाया जाना है।
D) 1530: यह एक गणना त्रुटि है, संभवतः घटाव चरण के दौरान (उदा., 2870 - 1340)।
E) 1730: यह भी एक गणना त्रुटि है। 2870 और 1240 के बीच का सही अंतर ठीक 1630 है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: 16 ৰ পৰা 20 ৰ পৰিসৰত বৰ্গৰ যোগফল উলিয়াবলৈ, আমি প্ৰথম 20টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰিম আৰু তাৰ পৰা প্ৰথম 15টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল বিয়োগ কৰিম (যিহেতু শৃংখলাটো 16 ৰ পৰা আৰম্ভ হয়, আমি 15 লৈকে যোগফল বিয়োগ কৰোঁ)।

স্তৰ-স্তৰকৈ গণনা:

প্ৰথম 20 টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰক (S₂₀²):
S₂₀² = 20 x 21 x 41 / 6 = 2870।
প্ৰথম 15 টা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল গণনা কৰক (S₁₅²):
S₁₅² = 15 x 16 x 31 / 6 = 1240।
প্ৰথম যোগফলৰ পৰা দ্বিতীয়টো বিয়োগ কৰক:
যোগফল (16² ৰ পৰা 20²) = S₂₀² - S₁₅² = 2870 - 1240 = 1630।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	গণনা	সূত্ৰ/পদ্ধতি	ফলাফল
1	প্ৰথম 20 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₂₀²)	n(n+1)(2n+1)/6	2870
2	প্ৰথম 15 ৰ বৰ্গৰ যোগফল (S₁₅²)	n(n+1)(2n+1)/6	1240
3	অন্তিম যোগফল	S₂₀² - S₁₅²	1630

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

A) 2870: এইটো 1 ৰ পৰা 20 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল। ই 1 ৰ পৰা 15 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল বাদ দিবলৈ ব্যৰ্থ হৈছে।
C) 1240: এইটো 1 ৰ পৰা 15 লৈকে বৰ্গৰ যোগফল, যিটো মান বিয়োগ কৰিব লাগে।
D) 1530: এইটো এটা গণনা ত্ৰুটি, সম্ভৱতঃ বিয়োগৰ স্তৰত (যেনে, 2870 - 1340)।
E) 1730: এইটোও এটা গণনা ত্ৰুটি। 2870 আৰু 1240 ৰ মাজৰ শুদ্ধ পাৰ্থক্য ঠিক 1630।

StudyBix.com-Q50: If the sum of the squares of the first 'n' natural numbers is 204, what is the sum of the cubes of those 'n' natural numbers?

A
1296
B
204
C
36
D
8
E
1240

StudyBix.com-Q50: यदि पहली 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 204 है, तो उन 'n' प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या होगा?

A
1296
B
204
C
36
D
8
E
1240

StudyBix.com-Q50: যদি প্ৰথম 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 204 হয়, তেন্তে সেই 'n' টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল কিমান হ'ব?

A
1296
B
204
C
36
D
8
E
1240

View AnswerView Explanation

Correct Answer Explanation: This is a two-step problem. First, find 'n' from the sum of squares. Second, use 'n' to calculate the sum of cubes.

Step 1: Find 'n'.

Given: Sum of squares = 204.
Formula: n(n+1)(2n+1)/6 = 204.
By testing small values, for n=8: 8 x 9 x 17 / 6 = 12 x 17 = 204. So, n = 8.

Step 2: Find the sum of the cubes for n=8.

Formula: Sum of cubes = [n(n+1)/2]².
Substitute n=8: Sum = [8 x 9 / 2]² = [36]².
Calculate: 36 x 36 = 1296.

Calculation Summary Chart:

Step	Action	Formula/Calculation	Result
1	Find n	n(n+1)(2n+1)/6 = 204	n=8
2	Calculate Sum of Cubes	[8 x 9 / 2]² = 36²	1296

Why other options are incorrect:

B) 204: This is the sum of the squares given in the problem.
C) 36: This is the sum of the first 8 numbers, the intermediate value.
D) 8: This is the value of 'n', not the sum of the cubes.
E) 1240: This is the sum of squares for n=15, and is unrelated.

सही उत्तर की व्याख्या: यह एक दो-चरणीय समस्या है। सबसे पहले, वर्गों के योग से 'n' ज्ञात करें। दूसरा, 'n' का उपयोग घनों के योग की गणना के लिए करें।

चरण 1: 'n' ज्ञात करें।

दिया गया है: वर्गों का योग = 204।
सूत्र: n(n+1)(2n+1)/6 = 204।
छोटे मानों का परीक्षण करके, n=8 के लिए: 8 x 9 x 17 / 6 = 12 x 17 = 204। तो, n = 8।

चरण 2: n=8 के लिए घनों का योग ज्ञात करें।

सूत्र: घनों का योग = [n(n+1)/2]²।
n=8 प्रतिस्थापित करें: योग = [8 x 9 / 2]² = [36]²।
गणना करें: 36 x 36 = 1296।

गणना सारांश तालिका:

चरण	क्रिया	सूत्र/गणना	परिणाम
1	n ज्ञात करें	n(n+1)(2n+1)/6 = 204	n=8
2	घनों का योग गणना करें	[8 x 9 / 2]² = 36²	1296

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

B) 204: यह समस्या में दिया गया वर्गों का योग है।
C) 36: यह पहली 8 संख्याओं का योग है, मध्यवर्ती मान।
D) 8: यह 'n' का मान है, घनों का योग नहीं।
E) 1240: यह n=15 के लिए वर्गों का योग है, और असंबंधित है।

সঠিক উত্তৰৰ ব্যাখ্যা: এইটো এটা দুটা-স্তৰৰ প্ৰশ্ন। প্ৰথমে, বৰ্গৰ যোগফলৰ পৰা 'n' উলিওৱা। দ্বিতীয়তে, 'n' ব্যৱহাৰ কৰি ঘনৰ যোগফল গণনা কৰা।

স্তৰ 1: 'n' উলিওৱা।

দিয়া হৈছে: বৰ্গৰ যোগফল = 204।
সূত্ৰ: n(n+1)(2n+1)/6 = 204।
সৰু মান পৰীক্ষা কৰি, n=8 ৰ বাবে: 8 x 9 x 17 / 6 = 12 x 17 = 204। গতিকে, n = 8।

স্তৰ 2: n=8 ৰ বাবে ঘনৰ যোগফল উলিওৱা।

সূত্ৰ: ঘনৰ যোগফল = [n(n+1)/2]²।
n=8 বহুৱাওক: যোগফল = [8 x 9 / 2]² = [36]²।
গণনা কৰক: 36 x 36 = 1296।

গণনা সাৰাংশ তালিকা:

স্তৰ	কাৰ্য্য	সূত্ৰ/গণনা	ফলাফল
1	n উলিওৱা	n(n+1)(2n+1)/6 = 204	n=8
2	ঘনৰ যোগফল গণনা	[8 x 9 / 2]² = 36²	1296

অন্যান্য বিকল্পবোৰ কিয় অশুদ্ধ:

B) 204: এইটো প্ৰশ্নটোত দিয়া বৰ্গৰ যোগফল।
C) 36: এইটো প্ৰথম 8টা সংখ্যাৰ যোগফল, মধ্যৱৰ্তী মান।
D) 8: এইটো 'n' ৰ মান, ঘনৰ যোগফল নহয়।
E) 1240: এইটো n=15 ৰ বাবে বৰ্গৰ যোগফল, আৰু সম্পৰ্কহীন।

MCQs of Mathematical Reasoning by StudyBix.com are Given Below
S.No.	Exercises	MCQs	View
1	Part - 1	50	View
2	Part - 2	50	View
3	Part - 3	50	View
4	Part - 4	50	View
5	Part - 5	50	View
Total MCQs -		250

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Mathematical Reasoning 1

Direction (1-50): In the following questions, solve the problems related to summation formulas. Read each question carefully and select the best option.

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